K-adik tapasztalati momentum

1. Sablon:Label A k-adik tapasztalati momentum a statisztikai minták elemzésében használt eszköz, amely a minta központi tendenciáinak, szóródásának és alakjának jellemzésére szolgál. A momentumok általánosítják az olyan ismertebb statisztikai mutatókat, mint az átlag vagy a szórás. A tapasztalati (vagy empirikus) momentumok egy mintán alapulnak, és az adott minta adataiból számítják őket, szemben az elméleti momentumokkal, amelyeket a populáció eloszlása alapján határoznak meg.

Általános formula:

A k-adik tapasztalati momentum egy minta $x_1,x_2,\dots ,x_n$ adataira vonatkoztatva így definiálható: $$m_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^k,$$ ahol: - $x_1,x_2,\dots ,x_n$ a mintaelemek, - $\bar{x}$ a minta átlaga, - $k$ a momentum rendje (azaz, hogy hanyadik momentumot számoljuk), - $n$ a minta mérete.

Ez a centrált tapasztalati momentum. Ha a középpontozást nem alkalmazzuk, akkor a nem centrált tapasztalati momentum egyszerűen: $$m_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^k.$$

Első néhány momentum:

1. Első tapasztalati momentum: Az első momentum általában az átlagot adja meg, és a centrálás miatt nulla a centrált változatban: $$m_1=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})=0.$$

2. Második tapasztalati momentum: A második centrált momentum a mintavariancia, amely a minta szóródását méri: $$m_2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2.$$ Ez az érték közelíti a populációs varianciát.

3. Harmadik tapasztalati momentum: A harmadik centrált momentum a ferdeséget (aszimmetriát) méri, és azt mutatja meg, hogy a minta eloszlása jobbra vagy balra ferde-e: $$m_3=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^3.$$

4. Negyedik tapasztalati momentum: A negyedik centrált momentum a csúcsosságot (kurtózist) méri, amely azt jelzi, hogy az eloszlás mennyire „csúcsos” vagy „lapos” az átlag körül: $$m_4=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^4.$$

Alkalmazás: A k-adik tapasztalati momentumokat gyakran használják az adatok elemzésére és leírására, mert információt nyújtanak az eloszlás alakjáról, a középponttól való eltérésekről, illetve az adatok eloszlásának aszimmetriájáról és koncentrációjáról. A momentumok segítségével mélyebb statisztikai jellemzést kaphatunk az adatokról, például a normálistól való eltéréseket, a szimmetriát, és a ritka vagy gyakori értékek eloszlását. Sablon:Hunl