Mintaátlag várható értéke

1. Sablon:Label A mintaátlag (más néven minta középérték) várható értéke fontos fogalom a statisztikában és a valószínűségszámításban.

Mintaátlag Definíciója

Ha van egy $n$ elemű minta, amelyet egy populációból választottunk ki, a mintaátlag $\overline{X}$ a következőképpen van definiálva:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

ahol: - $X_i$ a minta elemei (az $i$-edik megfigyelés), - $n$ a minta elemszáma.

Mintaátlag Várható Értéke

A mintaátlag várható értéke a következőképpen számítható ki, ha a minta független és azonos eloszlású (iid) elemekből áll:

$$E[\overline{X}]=E\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right]=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E[X_i]$$

Ha $X_i$ egy $X$ eloszlású véletlen változó, amelynek várható értéke $E[X]=\mu$, akkor:

$$E[\overline{X}]=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mu =\mu$$

Következtetés

Ez azt jelenti, hogy a mintaátlag várható értéke egyenlő a populációs eloszlás várható értékével ($\mu$). Ez a tulajdonság kulcsfontosságú a statisztikai következtetések szempontjából, mivel biztosítja, hogy a mintaátlag egy torzítatlan becslés a populáció átlagára.

További Jellemzők

1. Szórás: A mintaátlag szórása a populáció szórásának $\sigma$ és a minta elemszáma $n$ függvényében a következő képlettel határozható meg: $${\sigma }_{\overline{X}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$ ahol $\sigma$ a populáció szórása.

2. Központi Határeloszlás Tétel: Ha $n$ elég nagy, akkor a mintaátlag eloszlása közel normális eloszlást követ, függetlenül attól, hogy az alapelemeztek eloszlása milyen.

Összegzés

A mintaátlag várható értéke és szórása kulcsszerepet játszik a statisztikai elemzésekben és a következtetések levonásában, lehetővé téve a populációs paraméterek megbecsülését és a különböző eloszlások vizsgálatát. Sablon:Hunl