Szórásnégyzet kiszámítása

1. Sablon:Label A szórásnégyzet (más néven variancia) a valószínűségi eloszlás szórásának négyzete, amely a változó adataira vonatkozó eloszlás szóródását méri. A variancia azt mutatja meg, hogy az adatok mennyire térnek el az átlagtól.

Variancia Kiszámítása

A variancia két esetben számítható: a teljes populációra és a minta alapján.

1. Teljes Populáció Varianciája

Ha az adatok a teljes populációt reprezentálják, a variancia (${\sigma }^2$) kiszámítása a következőképpen történik:

$${\sigma }^2=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(X_i-\mu {)}^2$$

ahol:

• $N$: a populáció elemszáma,
• $X_i$: az egyes megfigyelések,
• $\mu$: a populáció várható értéke.

2. Minta Varianciája

Ha az adatok csak egy mintát képviselnek, a variancia ($s^2$) kiszámítása a következőképpen történik:

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$$

ahol:

• $n$: a minta elemszáma,
• $X_i$: az egyes megfigyelések,
• $\overline{X}$: a minta átlagértéke.

Példa

Tegyük fel, hogy van egy adathalmazon: $\{3,5,7,8,10\}$.

1. Minta Átlagának Kiszámítása

$$\overline{X}=\frac{3+5+7+8+10}{5}=\frac{33}{5}=6.6$$

2. Minta Varianciájának Kiszámítása

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$$ $$s^2=\frac{1}{5-1}[(3-6.6{)}^2+(5-6.6{)}^2+(7-6.6{)}^2+(8-6.6{)}^2+(10-6.6{)}^2]$$

Számoljuk ki az eltéréseket és négyzeteket:

• $(3-6.6{)}^2=12.96$
• $(5-6.6{)}^2=2.56$
• $(7-6.6{)}^2=0.16$
• $(8-6.6{)}^2=1.96$
• $(10-6.6{)}^2=11.56$

Most összegezzük az eltérések négyzetét:

$$\sum _{i=1}^5(X_i-\overline{X}{)}^2=12.96+2.56+0.16+1.96+11.56=29.2$$

Most számoljuk ki a varianciát:

$$s^2=\frac{29.2}{4}=7.3$$

Összegzés

A szórásnégyzet (variancia) fontos statisztikai mutató, amely az adatok szóródását méri az átlaghoz képest. A variancia kiszámítása segít megérteni az adatok eloszlását és szóródását a statisztikai elemzések során. Sablon:Hunl