Normális eloszlás eloszlásfüggvénye

1. Sablon:Label A normális eloszlás (más néven Gauss-eloszlás) egy alapvető valószínűségi eloszlás, amely széles körben alkalmazott a statisztikában és a különböző tudományterületeken. Az eloszlásfüggvénye leírja, hogy az események milyen valószínűséggel fordulnak elő egy adott tartományban.

Normális eloszlás eloszlásfüggvénye

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye a következőképpen van megadva:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Ahol

• $f(x)$: az $x$ értékhez tartozó sűrűségfüggvény.
• $\mu$: a normális eloszlás átlaga (várható érték), amely meghatározza az eloszlás középpontját.
• $\sigma$: a normális eloszlás szórása, amely az eloszlás szóródását jelzi.
• ${\sigma }^2$: a szórásnégyzet, azaz a variancia.
• $e$: a természetes alapú logaritmus alapja (körülbelül 2.71828).
• $\pi$: a π (pi) szám, körülbelül 3.14159.

Tulajdonságok

1. Szimmetrikus: A normális eloszlás szimmetrikus a $\mu$ körül. Az eloszlás bal és jobb oldala azonos.

2. Z-érték: A normális eloszlásban egy $Z$-érték kiszámítása lehetővé teszi az eloszlás normálstandardizálását, amely a következő képlettel történik: $$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$ Ahol $X$ a megfigyelt érték, $\mu$ az átlag, és $\sigma$ a szórás.

3. Empirikus szabály (68-95-99.7 szabály): - A normális eloszlású adatok körülbelül 68 - Körülbelül 95 - Körülbelül 99.7

Példa

Tegyük fel, hogy egy tesztátlag $\mu =100$, a szórás $\sigma =15$. A tesztpontok eloszlásának függvénye a következőképpen néz ki:

$$f(x)=\frac{1}{15\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-100{)}^2}{2\times 15^2}}$$

Ez a függvény megmutatja, hogy milyen valószínűséggel találhatóak az $x$ értékek a tesztben, és lehetővé teszi a különböző valószínűségek kiszámítását, például az $x$ értékek összegének eloszlását.

Összegzés

A normális eloszlás eloszlásfüggvénye a statisztikában alapvető szerepet játszik, mivel sok jelenség a természetben és a társadalomban normálisan eloszlik. Az eloszlásfüggvény jellemzői, mint az átlag és a szórás, alapvető információkat nyújtanak az adatok szóródásáról és eloszlásáról.