Illeszkedésvizsgálat

1. Sablon:Label Az illeszkedésvizsgálat (vagy más néven illeszkedési próba) egy statisztikai eljárás, amelyet arra használnak, hogy megvizsgálják, mennyire jól illeszkednek a megfigyelt adatok egy adott elméleti eloszláshoz. Ez a módszer segít eldönteni, hogy egy adathalmaz követi-e a feltételezett eloszlást, például a normális, binomiális, vagy Poisson-eloszlást.

1. Khi-négyzet illeszkedési próba

Az egyik leggyakrabban használt módszer az illeszkedésvizsgálatra a khi-négyzet illeszkedési próba (Chi-square goodness-of-fit test). Ez a próba azt vizsgálja, hogy a megfigyelt gyakoriságok mennyire térnek el a várt, elméleti gyakoriságoktól.

A próba lépései:

1. Nullhipotézis ($H_0$) és alternatív hipotézis ($H_A$) megfogalmazása: - $H_0$: Az adatok egy adott eloszlást követnek (például normális eloszlás). - $H_A$: Az adatok nem követik az adott eloszlást.

2. Khi-négyzet statisztika kiszámítása: A khi-négyzet statisztika az eltérés mértéke a megfigyelt ($O_i$) és a várt ($E_i$) gyakoriságok között:

$${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}$$ ahol $k$ az események száma, $O_i$ a megfigyelt gyakoriság, $E_i$ pedig a várt gyakoriság.

3. Szabadságfok meghatározása: A szabadságfok ($\text{df}$) az eloszlásban lévő paraméterek száma, ami általában $k-1$, ahol $k$ a lehetséges kimenetelek száma, de ha a paramétereket becsüljük (pl. az átlagot), akkor ezt is figyelembe kell venni.

4. Khi-négyzet eloszlás alapján kritikus érték meghatározása: A próba eredményét összehasonlítjuk egy khi-négyzet eloszlás kritikus értékével. Ha a számított khi-négyzet érték meghaladja ezt, akkor elutasítjuk a nullhipotézist, különben nem.

5. Döntés: - Ha a számított khi-négyzet statisztika nagyobb, mint a táblázatban lévő kritikus érték egy adott szignifikanciaszinten (például 5 - Ha a számított érték kisebb, mint a kritikus érték, akkor nem utasítjuk el a nullhipotézist, azaz az adatok jól illeszkednek az elméleti eloszláshoz.

Példa:

Tegyük fel, hogy egy hatoldalú dobókockát dobunk 60-szor, és a megfigyelt gyakoriságok a következőek:

- 1-es: 8 - 2-es: 10 - 3-as: 9 - 4-es: 12 - 5-ös: 11 - 6-os: 10

Az elméleti eloszlás szerint minden szám ugyanakkora valószínűséggel fordul elő, tehát a várt gyakoriság minden szám esetén: $$E_i=\frac{60}{6}=10$$

A khi-négyzet statisztika így számítható: $${\chi }^2=\frac{(8-10{)}^2}{10}+\frac{(10-10{)}^2}{10}+\frac{(9-10{)}^2}{10}+\frac{(12-10{)}^2}{10}+\frac{(11-10{)}^2}{10}+\frac{(10-10{)}^2}{10}$$ $${\chi }^2=\frac{4}{10}+0+\frac{1}{10}+\frac{4}{10}+\frac{1}{10}+0=1$$

A szabadságfok $\text{df}=6-1=5$, és ha a kritikus érték $5\mathrm{\%}$-os szignifikanciaszinten 11.07, akkor mivel $1<11.07$, nem utasítjuk el a nullhipotézist, tehát a kockadobás eredményei jól illeszkednek a feltételezett egyenletes eloszláshoz.

2. Illeszkedésvizsgálat más módszerekkel

- Kolmogorov–Smirnov próba: Folytonos eloszlások esetén alkalmazható, és azt vizsgálja, hogy két eloszlás mennyire tér el egymástól (például egy minta eloszlása mennyire tér el egy elméleti eloszlástól). - Shapiro-Wilk teszt: Főleg a normalitás vizsgálatára szolgál, vagyis arra, hogy egy minta követ-e normális eloszlást.

Összegzés:

Az illeszkedésvizsgálat alapvetően arra szolgál, hogy megvizsgálja, mennyire követi egy minta a feltételezett elméleti eloszlást. A legelterjedtebb módszer a khi-négyzet illeszkedési próba, de más eloszlások esetén speciális teszteket is alkalmaznak, például a Kolmogorov–Smirnov tesztet vagy a Shapiro-Wilk tesztet. Sablon:-ford- Sablon:Trans-top

• Sablon:En: Sablon:T+