Összetett esemény valószínűsége

1. Sablon:Label Az összetett esemény valószínűsége több egyszerű esemény kombinációjából származik, és ezek különböző módon kapcsolódhatnak egymáshoz: lehetnek egymástól függetlenek, függenek egymástól, vagy egymás kizárói. Az összetett események valószínűsége általában különböző szabályok alkalmazásával számítható ki.

1. Független események esetén: Két esemény akkor független, ha az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik esemény valószínűségét.

Ha $A$ és $B$ független események, akkor a valószínűségük szorzata adja az összetett esemény valószínűségét:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

Példa: - Egy érmefeldobás és egy dobókocka-dobás függetlenek egymástól. Az érmefeldobásnál a fej valószínűsége $P(\text{fej})=\frac{1}{2}$, és a kockán egy 6-os dobás valószínűsége $P(6)=\frac{1}{6}$. Az a valószínűség, hogy fej lesz és 6-ost dobsz: $$P(\text{fej}\cap 6)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}$$

2. Függő események esetén: Két esemény függ egymástól, ha az egyik esemény bekövetkezése befolyásolja a másik esemény valószínűségét. Ilyenkor a feltételes valószínűséget használjuk.

Az események együttes valószínűsége függő esetben: $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$$ ahol $P(B|A)$ a feltételes valószínűség, ami azt mutatja, hogy $B$ esemény bekövetkezik, ha $A$ már bekövetkezett.

Példa: - Tegyük fel, hogy egy zsákban 5 piros és 3 kék golyó van. Kiválasztunk egy golyót, majd visszatevés nélkül újra választunk. Az első golyó piros volt, ennek valószínűsége $P(\text{piros})=\frac{5}{8}$. Az első kiválasztás után maradt 4 piros és 3 kék golyó. A második piros golyó valószínűsége az első piros kiválasztása után:

$$P(\text{második piros}|\text{első piros})=\frac{4}{7}$$

Az a valószínűség, hogy mindkét alkalommal piros golyót húzunk: $$P(\text{első piros}\cap \text{második piros})=\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$$

3. Kizáró események esetén: Két esemény akkor kizáró (diszjunkt), ha nem fordulhatnak elő egyszerre. Ilyenkor az összetett esemény valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összege:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)\text{ha}A\cap B=\mathrm{\varnothing }$$

Példa: - Egy dobókockán egy 2-es vagy egy 5-ös dobás kizáró események. A valószínűsége annak, hogy vagy 2-est vagy 5-öst dobunk: $$P(2\cup 5)=P(2)+P(5)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

4. Nem kizáró események esetén: Ha két esemény nem kizáró, azaz egyszerre is bekövetkezhetnek, akkor az összetett esemény valószínűsége az események valószínűségeinek összege, mínusz a közös esemény valószínűsége:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Példa: - Egy dobókocka dobásnál az események: $A$ – páros szám dobása, és $B$ – 4-es vagy annál nagyobb szám dobása. A két esemény nem kizáró, mert a 4 páros és egyben 4-nél nagyobb is. A valószínűségek: $$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},P(A\cap B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$ Az események együttes valószínűsége: $$P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$ Sablon:Hunl