Folytonos valószínűségeloszlás

1. Sablon:Label A folytonos valószínűségeloszlás (continuous probability distribution) olyan valószínűségeloszlás, ahol a véletlen változó értékei folytonos intervallumokban helyezkednek el, és a valószínűségi sűrűségfüggvény (probability density function, PDF) segítségével jellemezhető.

Főbb Jellemzők

1. Sűrűségfüggvény: - A folytonos eloszlás esetén a valószínűségi sűrűségfüggvény $f(x)$ a következő tulajdonságokkal rendelkezik: - $f(x)\ge 0$ minden $x$-re. - A teljes terület alatt integrálva egyenlő 1-gyel: $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1$$

2. Valószínűség: - Mivel a sűrűségfüggvény nem ad közvetlenül valószínűséget, a folytonos eloszlás esetén a valószínűséget egy intervallumra a következőképpen számoljuk: $$P(a<X\le b)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$$

3. Eloszlási Függvény: - A folytonos eloszlás eloszlási függvénye (cumulative distribution function, CDF) a következőképpen definiálható: $$F(x)=P(X\le x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$$

Példák

1. Normális Eloszlás: - A normális eloszlás a legismertebb folytonos eloszlás, amelyet a következő sűrűségfüggvény ír le: $$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$ ahol $\mu$ a középérték, és ${\sigma }^2$ a variancia.

2. Exponenciális Eloszlás: - Az exponenciális eloszlás, amely a folytonos időtartamok modellezésére szolgál: $$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}(x\ge 0)$$ ahol $\lambda$ a ritkaság paraméter.

3. Egyenletes Eloszlás: - Az egyenletes eloszlás, ahol az értékek egy adott intervallumban egyenlő valószínűséggel fordulnak elő: $$f(x)=\frac{1}{b-a}(a\le x\le b)$$

Alkalmazások

- A folytonos valószínűségeloszlások széles körben alkalmazhatók különböző területeken, például a statisztikában, az iparban és a tudományos kutatásban, ahol a modellezés során figyelembe kell venni a folytonos változók viselkedését.