Elsőrendű momentum

1. Sablon:Label Az elsőrendű momentum (first moment) a valószínűségi eloszlások egyik alapvető jellemzője, amely a véletlen változó várható értékét vagy átlagát reprezentálja.

Definíció

Ha $X$ egy valószínűségi eloszlással rendelkező véletlen változó, az elsőrendű momentumot a következőképpen definiáljuk:

$$\mu =E[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_X(x)dx\text{(kontinuális eset)}$$

vagy diszkrét esetben:

$$\mu =E[X]=\sum _i{x}_{i}P(X=x_i)\text{(diszkrét eset)}$$

ahol $f_X(x)$ a véletlen változó sűrűségfüggvénye (PDF) a kontinuális esetben, és $P(X=x_i)$ a valószínűségi tömegfüggvény (PMF) a diszkrét esetben.

Jelentősége

- Középérték: Az elsőrendű momentum az eloszlás középértékét adja meg, amely a valószínűségi eloszlás "középpontja". - Statisztikai elemzés: Az elsőrendű momentum kulcsszerepet játszik a statisztikai elemzésekben, például a mintaátlag számításában.

Példák

1. Diszkrét eset: Ha $X$ egy kockadobás eredménye, akkor az elsőrendű momentum (várható érték) a következőképpen számolható:

$$E[X]=\sum _{i=1}^{6}i\cdot P(X=i)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$$

2. Kontinuális eset: Ha $X$ normális eloszlású, $\mu$ és ${\sigma }^2$ paraméterekkel, akkor az elsőrendű momentum:

$$E[X]=\mu$$ Sablon:Hunl