Kétmintás u-statisztika

1. Sablon:Label A kétmintás $u$-statisztika egy olyan statisztikai próba, amelyet két különböző minta átlagának összehasonlítására használnak. Ez a próba hasznos, amikor azt szeretnénk megvizsgálni, hogy két minta (például két különböző csoportból származó megfigyelés) átlagai szignifikánsan eltérnek-e egymástól.

Definíció

Legyen $X_1,X_2,\dots ,X_n$ az első minta megfigyelései, és $Y_1,Y_2,\dots ,Y_m$ a második minta megfigyelései. Az $X$ minta átlaga:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

A $Y$ minta átlaga:

$$\overline{Y}=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{Y}_j$$

A kétmintás $u$-statisztika a következőképpen van definiálva:

$$u=\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{\frac{s_x^2}{n}+\frac{s_y^2}{m}}}$$

ahol $s_x^2$ és $s_y^2$ az első és a második minta szórásnégyzetei.

Lépések a kétmintás $u$-statisztika alkalmazásához

1. Hipotézisek megfogalmazása: - Nullhipotézis ($H_0$): ${\mu }_X={\mu }_Y$ (a két minta átlaga egyenlő). - Alternatív hipotézis ($H_1$): ${\mu }_X\ne {\mu }_Y$ (a két minta átlaga különbözik).

2. Minták kiválasztása: - Vegyél két független mintát a populációkból.

3. Átlagok és szórások kiszámítása: - Számítsd ki a $\overline{X}$ és $\overline{Y}$ átlagokat, valamint az $s_x^2$ és $s_y^2$ szórásokat.

4. $u$-statisztika kiszámítása: - Használj a fenti képletet.

5. Kritikus érték vagy p-érték meghatározása: - Határozd meg a kritikus értéket a megadott szignifikanciaszinten ($\alpha$), vagy számítsd ki a p-értéket.

6. Döntés: - Ha a $u$-statisztika a kritikus tartományban van, vagy a p-érték kisebb, mint $\alpha$, akkor elutasítod a nullhipotézist.

Példa

Tegyük fel, hogy a kutatók két különböző gyógyszer hatékonyságát szeretnék összehasonlítani. Az első csoport 10 emberből áll, akik az A gyógyszert kapták, míg a második csoport 12 emberből áll, akik a B gyógyszert kapták. A következő eredményeket kapták:

- $\overline{X}=75$, $s_x^2=16$ (A gyógyszer esetén) - $\overline{Y}=70$, $s_y^2=25$ (B gyógyszer esetén)

A $u$-statisztika kiszámítása:

$$u=\frac{75-70}{\sqrt{\frac{16}{10}+\frac{25}{12}}}$$

Kiszámítva a szórásokat, majd a statisztikát, a kutatók eldönthetik, hogy a két gyógyszer hatékonysága szignifikánsan eltér-e egymástól.

Megjegyzés

A kétmintás $u$-statisztika különösen hasznos, ha a minták függetlenek és normál eloszlásúak. Ha a minták mérete kicsi, és a normális eloszlás nem biztosított, érdemes alternatív, nem paraméteres teszteket (például Mann-Whitney U tesztet) is megfontolni. Sablon:Hunl