Exponenciális eloszlás szórásnégyzete

1. Sablon:Label Az exponenciális eloszlás szórásnégyzete (varianciája) az eloszlás paraméterétől függ, és az alábbi módon számítható.

Legyen $X$ egy exponenciális eloszlású valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye:

$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0$$

ahol $\lambda >0$ az eloszlás paramétere (az eloszlás rátája).

A szórásnégyzet (variancia) képlete:

$$\text{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

Tehát, ha ismerjük az exponenciális eloszlás $\lambda$ paraméterét, akkor a variancia a $\lambda$ négyzetének reciproka.

Levezetés

Az exponenciális eloszlás várható értéke $𝔼(X)=\frac{1}{\lambda }$. A második momentum (az $X^2$-re vett várható érték) pedig:

$$𝔼(X^2)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{2}{{\lambda }^2}$$

Így a variancia:

$$\text{Var}(X)=𝔼(X^2)-(𝔼(X){)}^2=\frac{2}{{\lambda }^2}-{\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^2=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

Ez a szórásnégyzet (variancia) az exponenciális eloszlás esetében. Sablon:Hunl