Eloszlásfüggvény p-kvantilise

1. Sablon:Label Az eloszlásfüggvény p-kvantilise egy statisztikai fogalom, amely azt jelenti, hogy egy adott valószínűség $p$ esetén a kvantilist keressük, amely alatt az eloszlás változója a teljes valószínűség $p$-nyi részét foglalja magában.

Formálisan a p-kvantilis $q_p$ egy olyan érték, amelyre igaz, hogy:

$$P(X\le q_p)=p,$$

ahol $0\le p\le 1$. Ez azt jelenti, hogy a véletlen változó $X$ értéke $p$-es valószínűséggel kisebb vagy egyenlő $q_p$-nél.

Exponenciális eloszlás p-kvantilise

Az exponenciális eloszlásnál a kvantilis meghatározásához az eloszlásfüggvény inverzét használjuk. Az exponenciális eloszlás eloszlásfüggvénye:

$$F(x)=1-e^{-\lambda x},x\ge 0.$$

A p-kvantilis meghatározásához meg kell oldani a következő egyenletet:

$$F(q_p)=p.$$

Tehát

$$1-e^{-\lambda q_p}=p.$$

Ezt átrendezve megkapjuk a p-kvantilist $q_p$ kifejezve:

$$e^{-\lambda q_p}=1-p,$$

$$-\lambda q_p=\ln (1-p),$$

$$q_p=-\frac{\ln (1-p)}{\lambda }.$$

Magyarázat

- A $q_p$ kvantilis azt az értéket adja meg, amelynél a valószínűség $p$ lesz. - $p=0.5$ esetén például $q_{0.5}$ a medián, amely az exponenciális eloszlásnál:

$$q_{0.5}=-\frac{\ln (1-0.5)}{\lambda }=\frac{\ln (2)}{\lambda }.$$

Példa

Tegyük fel, hogy egy exponenciális eloszlás paramétere $\lambda =2$, és szeretnénk meghatározni a 90%-os kvantilist (p = 0.9):

$$q_{0.9}=-\frac{\ln (1-0.9)}{2}=-\frac{\ln (0.1)}{2}\approx -\frac{-2.3026}{2}=1.1513.$$

Tehát a 90%-os kvantilis $q_{0.9}\approx 1.15$, ami azt jelenti, hogy a véletlen változó $X$ értéke 1.15-nél kisebb lesz 90% valószínűséggel.

Összegzés

Az eloszlásfüggvény p-kvantilise megmutatja azt a határértéket, amely alatt a változó $p$-es valószínűséggel helyezkedik el. Az exponenciális eloszlás esetén a p-kvantilis számítása az eloszlás paraméterétől ($\lambda$) és az adott p-értéktől függ. Sablon:Hunl