De Morgan-szabály

1. Sablon:Label de Morgan-szabályok a logikában és a halmazelméletben használt fontos szabályok, amelyek lehetővé teszik a logikai kifejezések és halmazok műveleteinek átalakítását. Ezek a szabályok a következők:

De Morgan első szabálya

$$\mathrm{\neg }(A\wedge B)\equiv \mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B$$

Ez azt jelenti, hogy egy és (AND) kifejezés negálása (nem) egy vagy (OR) kifejezés negálásának felel meg. Vagyis, ha nem igaz, hogy $A$ és $B$ egyszerre igaz, akkor legalább az egyik változó (vagy $A$, vagy $B$) hamis.

De Morgan második szabálya

$$\mathrm{\neg }(A\vee B)\equiv \mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B$$

Ez a szabály azt állítja, hogy egy vagy (OR) kifejezés negálása (nem) egy és (AND) kifejezés negálásának felel meg. Vagyis, ha nem igaz, hogy $A$ vagy $B$ igaz, akkor mindkét változó hamis.

Alkalmazás

- Logikai kifejezések: A De Morgan-szabályok hasznosak logikai kifejezések egyszerűsítésénél és átalakításánál. - Halmazelmélet: A halmazok esetében a De Morgan-szabályok az alábbi formában is megjelennek: - $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$ - $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$

Ahol $A^c$ és $B^c$ a halmazok komplementerét jelöli.

Példák

1. Logikai példa: - Ha $A$ azt jelenti, hogy "esik az eső", és $B$ azt jelenti, hogy "hideg van", akkor a De Morgan-szabályok alapján: - $\mathrm{\neg }(A\wedge B)$: "Nem esik az eső, vagy nem hideg van." - $\mathrm{\neg }(A\vee B)$: "Nem esik az eső, és nem hideg van."

2. Halmazelméleti példa: - Ha $A$ a "piros gyümölcsök" halmaza, és $B$ a "kerek gyümölcsök" halmaza, akkor a De Morgan-szabályok szerint: - A piros és kerek gyümölcsök komplementere az a halmaz, amely nem tartalmazza az összes piros gyümölcsöt és az összes kerek gyümölcsöt. Sablon:Hunl