Közös eloszlás

1. Sablon:Label A valószínűségszámításban a közös eloszlás egy lehetőség arra, hogy több alacsonyabb, általában egydimenziós valószínűségi mértékből konstruáljon egy magasabb dimenziós valószínűségeloszlást. Erre példa a multinomiális eloszlás. Mértékelméleti szempontból képmértékről van szó. Így valószínűségi változók közös általánosítása a valószínűségi változók eloszlásának.

Definíció

Adva legyen egy $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ valószínűségi mező, egy $I$ indexhalmaz, $(X_i{)}_{i\in I}$ valószínűségi változók és az $({\mathrm{\Omega }}_i,{𝒜}_i)$ eseményterek. Legyen

${\mathrm{\Omega }}_I:=\prod _{i\in I}{\mathrm{\Omega }}_i$

az alaphalmazok Descartes-szorzata, továbbá

${𝒜}_I:=\underset{i\in I}{⨂}{𝒜}_i$

a megfelelő szorzat-σ-algebra. Ekkor az $({\mathrm{\Omega }}_I,{𝒜}_I)$ téren értelmezett

$P_{(X_i{)}_{i\in I}}\left(\prod _{i\in I}{A}_i\right):=P(\bigcap _{i\in I}\{X_i\in A_i\})=P(\bigcap _{i\in I}{X}_i^{-1}(A_i))$

valószínűségi mérték definiálva van minden $A_i\in {𝒜}_i$ halmazra. Ez az $X_i$ valószínűségi változók közös eloszlása.