Valószínűségi vektorváltozó

1. Sablon:Humatek A valószínűségszámításban a valószínűségi vektorváltozó egy többdimenziós valószínűségi változó. Lényegét tekintve egy valószínűségi mezőn definiált mérhető függvény, ami értékeit ${ℝ}^n$-ben veszi fel. A közönséges egydimenziós valószínűségi változók több tulajdonsága közvetlenül vagy kis módosítással átvihető valószínűségi vektorváltozókra.

Nem tévesztendők össze a sztochasztikus vagy valószínűségi vektorokkal, amelyek koordinátái pozitívok és összegük egy. A valószínűségi vektorváltozókra nincs ilyen megkötés, kimenetelük bármilyen vektor lehet.

Definíció

Jelölje $ℬ(\cdot )$ a Borel-σ-algebrát. Legyen $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ valószínűségi mező, $m$ természetes szám, ami legalább kettő. Ekkor egy $m$ dimenziós valószínűségi vektorváltozó egy $X:(\mathrm{\Omega },𝒜,P)\to ({ℝ}^m,ℬ({ℝ}^m))$-leképezés, amire $X^{-1}(ℬ({ℝ}^m))\subset 𝒜$. Ekvivalens definíciók:

• $X$ mérhető függvény egy ${ℝ}^m$ alaphalmazú, Borel-σ-algebrával ellátott valószínűségi mezőn.
• Legyen $X=(X_1,X_2,\dots ,X_m)$, ahol $X_1,X_2,\dots ,X_m$ valós valószínűségi változók egy $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ valószínűségi mezőn. Ez a definíció azt használja ki, hogy egy ${ℝ}^m$-be menő leképezés pontosan akkor mérhető, ha koordinátafüggvényei is.