Általánosított inverz eloszlásfüggvény

1. Sablon:Label Az általánosított inverz eloszlásfüggvény, más néven kvantilis transzformáció vagy kvantilisfüggvény egy speciális valós függvény a valószínűségszámításban. Minden eloszlásfüggvényhez rendelhető általánosított inverz eloszlásfüggvény, ami bizonyos feltételek esetén az eloszlásfüggvény inverze. Az általánosított inverz eloszlásfüggvény minden nulla és egy közötti számhoz hozzárendeli azt a számot, ahol az eloszlásfüggvény ezt a számot túllépi.

Például, ha adva van az európaiak cipőméretének valószínűségeloszlását leíró eloszlásfüggvény, akkor a megfelelő általánosított inverz eloszlásfüggvény a 0,9 helyen azt adja meg, hogy mekkora az a cipőméret, aminél az európaiak 90%-a legfeljebb ekkora cipőt visel.

Az általánosított inverz eloszlásfüggvényt használják a kvantilisek meghatározásához. Vele határozzák meg adott eloszlásfüggvényű valószínűségi változók eloszlását. Ennek alapötletét alkalmazzák arra, hogy egyenletes eloszlású véletlen számokból adott eloszlású véletlen számokat generáljanak.

Definíció

Legyen

$F:ℝ\to ℝ$

eloszlásfüggvény olyan értelemben, hogy monoton nő, balról folytonos, és léteznek az $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$ és $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$ határértékek.

Ekkor F általánosított inverz eloszlásfüggvénye egy $F^{-1}:(0,1)\to ℝ$ függvény,

$F^{-1}(u):=\inf \{x\in ℝ\mid F(x)\ge u\}.$