Kumulánsgeneráló függvény

1. Sablon:Humatek A kumulánsok a valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változókhoz rendelt mennyiségek. Független valószínűségi változók esetén egyszerű velük számolni. Sorozatuk a várható értékkel és a szórásnégyzettel kezdődik.

Definíció

Ha az $X$ valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye $M_X(t)$, azaz

$M_X(t)=E(e^{tX})$

akkor a

$g_X(t)=\ln M_X(t)=\ln E(e^{tX})$

függvény az $X$ kumulánsgeneráló függvénye.

Az $n$-edik kumulánst ${\kappa }_n$ jelöli, és definíciója

${\kappa }_n=\frac{{\partial }^n}{\partial t^n}{g}_X(t){|}_{t=0}$.

A karakterisztikus függvény segítségével is definiálhatók:

${\kappa }_n=\frac{1}{i^n}\frac{{\partial }^n}{\partial t^n}\ln G_X(t){|}_{t=0}$

ahol $G_X(t)=E(e^{itX})$ a karakterisztikus függvény.

Sablon:Hunl