Független valószínűségi változók

1. Sablon:Label A valószínűségszámításban és statisztikában a valószínűségi változók függetlenek, ha ha az egyik értékének ismeretéből semmi információt sem lehet nyerni a másik lehetséges értékére. Formálisan, adva legyenek az $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ valószínűségi tér, $(E_1,{\mathrm{\Sigma }}_1)$ és $(E_2,{\mathrm{\Sigma }}_2)$ mértékterek, ekkor az

$X_1:(\mathrm{\Omega },𝒜,P)\to (E_1,{\mathrm{\Sigma }}_1)$

és

$X_2:(\mathrm{\Omega },𝒜,P)\to (E_2,{\mathrm{\Sigma }}_2)$

valószínűségi változók függetlenek, ha minden $B_1\in {\mathrm{\Sigma }}_1$ és $B_2\in {\mathrm{\Sigma }}_2$ esetén

$P(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X_1(\omega )\in B_1\text{,}{X}_2(\omega )\in B_2\})=P(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X_1(\omega )\in B_1\})\cdot P(\{\omega \in \mathrm{\Omega }:X_2(\omega )\in B_2\})$.

A definíció több változóra is kiterjeszthető.

A valószínűségi változók függetlensége a valószínűségszámítás és statisztika lényegi eleme, ami események függetlensége és halmazrendszerek függetlenségét általánosítja. Több tétel, mint például a centrális határeloszlás tétele is elvárja. Vannak tételek, amelyekhez az összes valószínűségi változónak függetlennek kell lennie, de néhányhoz elég a páronkénti függetlenség.