Nagy számok törvénye

1. Sablon:Humatek A nagy számok törvénye a valószínűségszámítás egyik alapvető tétele. A törvény azt mondja ki, hogy egy kísérletet sokszor elvégezve az eredmények átlaga egyre közelebb lesz a várható értékhez. A közeledés nem monoton, mivel újra és újra felbukkannak nem tipikus eredmények. Precízebb megfogalmazásban: ha $X_1,\dots ,X_n$ azonos eloszlású független valószínűségi változók véges $E(X_i)=\mu$ várható értékkel (i = 1, 2, ..., n), akkor $\sum _{i=1}^n{X}_i/n\to \mu$.

A törvénynek van egy gyenge és egy erős változata attól függően, hogy pontosan mit értünk konvergencia alatt:

• a gyenge változat szerint sztochasztikus konvergenciát, azaz

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{P}(|{\bar{X}}_n-\mu |<\epsilon )=1$

teljesül minden pozitív $\epsilon$-ra;

• az erős változat szerint 1 valószínűségű (majdnem biztos) konvergenciát, azaz

$\mathrm{P}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\bar{X}}_n=\mu )=1$.