Kezdeti σ-algebra

Sablon:Label A kezdeti σ-algebra a matematikában a mértékelmélet egy fogalma. Arra használják, hogy σ-algebrát hozzanak létre olyan tereken, amelyeken eredetileg nem volt struktúra. Speciális esetei a nyom-σ-algebra és a szorzat-σ-algebra. Szorosan összetartozik a kezdeti topológiával. Ez a legnagyobb σ-algebra, ahol függvények egy halmaza mérhető. Nevezik úgy is, mint függvények által generált σ-algebra, így a valószínűségi változók által generált σ-algebrák is kezdeti σ-algebrák. A generált algebra megnevezés nem egyértelmű, mivel halmazrendszerekkel is generálható σ-algebra.

Definíció

Adva legyenek az $f_{i} : Ω \to Ω_{i}$ leképezések, és mértékterek egy $(Ω_{i}, 𝒜_{i})$ családja egy nemüres $I$ indexhalmazzal. Ekkor az

ℐ (f_{i}, i \in I) : = σ (⋃_{i \in I} f_{i}^{- 1} (𝒜_{i}))

σ-algebra $Ω$ -n az $(f_{i})_{i \in I}$ leképezések kezdeti σ-algebrája, vagy az $(f_{i})_{i \in I}$ által generált σ-algebra.