Valószínűségi mező

1. Sablon:Label A valószínűségi mező a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Olyan folyamatokat (vagy „kísérleteket”) modellez, amelyeknek köze van a véletlenhez.

A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan mértéktér, ahol a teljes tér mértéke 1. Bővebben:

Legyen $\mathrm{\Omega }$ tetszőleges halmaz. Ha a $𝒫(\mathrm{\Omega })$ hatványhalmaz egy $𝒜$ részhalmaza $(𝒜\subseteq 𝒫(\mathrm{\Omega }))$ σ-algebra, azaz

• $\mathrm{\varnothing }\in 𝒜$, vagyis az üreshalmaz $𝒜$-beli,
• minden $A\in 𝒜$ halmaz esetén $\mathrm{\Omega }\setminus A\in 𝒜$, vagyis az $\mathrm{\Omega }$-ra vett komplementer halmaz is $𝒜$-beli, és
• minden $(A_n)\subseteq 𝒜$ halmazsorozat esetén $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\in 𝒜$,

és létezik egy $P:𝒜\to [0,1]$ mérték, hogy

• $P(\mathrm{\varnothing })=0$,
• $P(\mathrm{\Omega })=1$, és
• minden $(A_n)\subseteq 𝒜$ páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén $P\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_n)$,

akkor az $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ hármast valószínűségi mezőnek nevezzük. Sablon:Hunl