Valószínűségi tömegfüggvény

1. Sablon:Label A valószínűségszámítás elméletében és a statisztikában a valószínűség tömegfüggvény annak a valószínűségét adja meg, hogy valamely diszkrét valószínűségi változó egy pontosan határozott értéket vesz fel. A valószínűség tömegfüggvény gyakran a diszkrét valószínűség-eloszlás meghatározásának az elsődleges módszere. Segítségével az eloszláshoz egyértelműen hozzárendelhető egy eloszlásfüggvény. Megfordítva, egy diszkrét eloszláshoz tartozó eloszlásfüggvény is egyértelműen meghatározza a valószínűségi függvényt.

Formális meghatározás

Tegyük fel, hogy X: S → A (A $\subseteq$ R) egy diszkrét valószínűségi változó, mely az S mintatérben van. Ekkor a valószínűség tömegfüggvény f_X: A → [0, 1] ahol X:

$f_X(x)=\mathrm{Pr}(X=x)=\mathrm{Pr}(\{s\in S:X(s)=x\}).$

A valós számokra kiterjesztve a definíció

$f(x)=\{\begin{array}{cc}P(X=x_i)=p_i,& x=x_i\in \{x_1,x_2,\dots ,x_k\dots \}\\ 0,& \text{ különben.}\end{array}$

Jegyezzük meg: f_X valós szám, f_X(x) = 0 minden x $\notin$ X(S)-re. Lényegében hasonló meghatározás érvényes a diszkrét valószínűségi vektorokra is: X: S → Aⁿ, ahol a skalár értékeket vektorra cseréljük. A teljes valószínűség minden X-re 1-gyel egyenlő.

$\sum _{x\in A}{f}_X(x)=1$

Mivel a X ábrázolása megszámlálható mennyiség, a valószínűség tömegfüggvény f_X(x) mindenhol zéró, kivéve az x megszámlálható értékeire. A valószínűség tömegfüggvény diszkontinuitása azért van, mert egy diszkrét valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvénye is diszkontinuit, azaz nem folytonos. Ahol differenciálható, a deriváltja zéró, pont úgy, ahogy a valószínűség tömegfüggvény is zéró minden ilyen ponton.

Sablon:-ford- Sablon:Trans-top

• Sablon:En: Sablon:T+