Halmaz karakterisztikus függvénye

1. Sablon:Label A matematikában a karakterisztikus függvény (vagy ritkábban: indikátorfüggvény) olyan függvény, amely azt jelzi, hogy értelmezési tartományának pontjai elemei-e egy halmaznak.

A fogalom fontos szerepet játszik a matematikai analízisben, a mértékelméletben és a kombinatorikában.

A valószínűségszámításban szerepet játszik egy másik, szintén karakterisztikus függvénynek nevezett fogalom, amelynek az itt taglaltakhoz nincs köze.

Definíció

Legyen az A halmaz az X alaphalmaz egy részhalmaza. Ekkor A karakterisztikus függvényének nevezzük az X halmaz felett azt a

${\mathit{\chi }}_A:X\to \{0,1\}$

függvényt, amelyre

${\mathit{\chi }}_A(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{ha}x\in A,\\ 0,& \text{ha}x\notin A.\end{array}$

Alapvető tulajdonságok

A fenti jelölésekkel

${\mathit{\chi }}_X=\mathrm{𝟏}$

és

${\mathit{\chi }}_{\mathrm{\varnothing }}=\mathrm{𝟎}$,

ahol $\mathrm{𝟎}$ jelöli az azonosan 0 függvényt, és $\mathrm{𝟏}$ jelöli az azonosan 1 függvényt.

Legyen $A$ és $B$ az $X$ két részhalmaza. Akkor

${\mathit{\chi }}_{A\cap B}=\min \{{\mathit{\chi }}_A,{\mathit{\chi }}_B\}={\mathit{\chi }}_A\cdot {\mathit{\chi }}_B,$

${\mathit{\chi }}_{A\cup B}=\max \{{\mathit{\chi }}_A,{\mathit{\chi }}_B\}={\mathit{\chi }}_A+{\mathit{\chi }}_B-{\mathit{\chi }}_A\cdot {\mathit{\chi }}_B.$

• Sablon:En: Sablon:T, Sablon:T
• Sablon:Fr: Sablon:T