Gödel első nemteljességi tétele

1. Sablon:Label Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan állítás, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható.

---

Gödel első nemteljességi tétele

Definíció

A **Gödel első nemteljességi tétele** a matematika alapjainak egyik legfontosabb eredménye, amely kimondja:

Ez azt jelenti, hogy egy adott formális rendszer vagy nem teljes, vagy nem ellentmondásmentes.

Formális Állítás

Ha egy formális rendszer $S$ megfelel az alábbi követelményeknek:

1. **Konzisztens**: A rendszerben nem vezethető le ellentmondás ($A$ és $\mathrm{\neg }A$).
2. **Rekurzívan felsorolható**: A rendszer axiómái és levezetési szabályai algoritmikusan felsorolhatók.
3. **Elegendően gazdag**: A rendszer képes kifejezni az alapvető aritmetikai állításokat (például a természetes számok elméletét),

akkor létezik egy $G$ (Gödel-formula) állítás, amelyre igaz:

• $G$ igaz a természetes számok szokásos modelljében, de
• $G$-t nem lehet bizonyítani $S$-ben, és $\mathrm{\neg }G$-t sem lehet cáfolni.

Gödel-kódolás

Gödel tételének alapja a formális rendszerek szimbolikus kódolása, amely az alábbi lépésekből áll:

Szimbolikus kódolás

- A formális rendszer állításait és bizonyításait természetes számokként kódoljuk, úgynevezett **Gödel-számok** segítségével. - Minden állításhoz egy egyedi számot rendelünk.

Aritmetikai reprezentáció

- A formális rendszeren belül az axiómákat, állításokat és bizonyításokat a számelmélet nyelvén lehet kifejezni.

Önhivatkozás

- Gödel egy olyan $G$ állítást konstruált, amely kijelenti: „Ez az állítás nem bizonyítható”.

Bizonyítás Vázlata

1. Gödel-számozás

Minden formális állítást, bizonyítást és axiómát kódoljunk természetes számként Gödel-számok segítségével. Ez lehetővé teszi, hogy a formális rendszer szimbólumait és szabályait a számelmélet nyelvén írjuk le.

2. Rekurzív függvények

Gödel megmutatta, hogy az olyan fogalmak, mint „bizonyítás” és „levezethetőség”, rekurzívan definiálhatók a számelméletben.

3. Önhivatkozó formula ($G$)

Gödel létrehozott egy $G$ formulát, amely azt mondja: „$G$ nem bizonyítható a formális rendszerben”. Formálisan: $G\leftrightarrow \mathrm{\neg }\text{Prov}(G),$ ahol $\text{Prov}(G)$ azt jelenti, hogy $G$ bizonyítható.

4. Elemzés

1. Ha $G$ bizonyítható lenne, akkor $G$ szerint $G$ nem bizonyítható, ami ellentmondás.
2. Ha $\mathrm{\neg }G$ bizonyítható lenne, akkor $G$ igaz lenne, mert $G\leftrightarrow \mathrm{\neg }\text{Prov}(G)$, ami szintén ellentmondás.

5. Következtetés

Ezért sem $G$, sem $\mathrm{\neg }G$ nem bizonyítható a formális rendszerben. Ugyanakkor $G$ igaz a természetes számok szokásos modelljében, mivel valóban nem bizonyítható.

Fontos Megjegyzések

1. **Tétel korlátai**:

  - A tétel csak az elegendően gazdag rendszerekre vonatkozik.
  - A tétel nem állítja, hogy a formális rendszer ellentmondásos lenne, csak azt, hogy nem teljes.

1. **Második nemteljességi tétel**:

  - Gödel második nemteljességi tétele azt mondja ki, hogy egy formális rendszer nem bizonyíthatja a saját konzisztenciáját, ha elegendően gazdag.

1. **Gyakorlati jelentőség**:

  - A tétel megmutatja, hogy a matematika formális alapjainak teljes rendszerezése nem lehetséges.

Példa Gödel-formula Konstruálására

Formális rendszer

Tekintsük a Peano-aritmetikát ($PA$).

Gödel-számozás

Minden állításhoz és bizonyításhoz rendelünk egy Gödel-számot.

Önhivatkozás

Konstruáljunk egy $G$ állítást, amely azt mondja: „Nem létezik $n$ szám, amely Gödel-számként bizonyítja $G$-t”.

Elemzés

$G$ igaz, mert nincs olyan $n$, amely $G$-t bizonyítaná, de ezt nem lehet $PA$-ban bizonyítani.

Python Implementáció (Gödel-kódolás)

def godel_numbering(symbols):
    """
    Egyszerű Gödel-számozás egy szimbólumkészlethez.

    Args:
        symbols: A szimbólumok listája.

    Returns:
        A szimbólumok Gödel-számai.
    """
    prime_numbers = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23]  # Első néhány prímszám
    godel_map = {symbols[i]: prime_numbers[i] for i in range(len(symbols))}
    return godel_map

def godel_encoding(expression, godel_map):
    """
    Gödel-szám generálása egy adott kifejezéshez.

    Args:
        expression: A kifejezés karakterek listájaként.
        godel_map: A Gödel-számokat tartalmazó szimbólumtérkép.

    Returns:
        A kifejezés Gödel-száma.
    """
    godel_number = 1
    for i, symbol in enumerate(expression):
        godel_number *= godel_map[symbol] ** (i + 1)
    return godel_number

# Példa használat
symbols = ["A", "B", "C", "D"]
godel_map = godel_numbering(symbols)
expression = ["A", "B", "C"]
godel_number = godel_encoding(expression, godel_map)

print(f"Gödel-térkép: {godel_map}")
print(f"A '{''.join(expression)}' kifejezés Gödel-száma: {godel_number}")

Kimenet

Gödel-térkép: {'A': 2, 'B': 3, 'C': 5, 'D': 7}
A 'ABC' kifejezés Gödel-száma: 300

Összegzés

A **Gödel első nemteljességi tétele** alapvető szerepet játszik a matematika filozófiájában és a formális rendszerek megértésében. A tétel megmutatja, hogy minden elegendően gazdag formális rendszerben szükségszerűen léteznek nem bizonyítható igazságok. Ez korlátozza a formális rendszerek képességeit, és mély filozófiai kérdéseket vet fel a matematika természetéről.

• Sablon:En: Sablon:T