Vektor szorzása skalárral

1. Sablon:Label

A skalárral való szorzás ötlete a szorzat, mint ismételt összeadás hasonlóságából ered:

$\lambda .\overrightarrow{a}=\underset{\lambda \text{ darab}}{\underbrace{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+\dots +\overrightarrow{a}}}$, ha $\lambda \in \mathbb{N}$.

Mivel ebben az esetben a vektor hossza nőtt meg, adja magát, hogy a $\lambda .\overrightarrow{a}$ vektor $\overrightarrow{a}$-val párhuzamos, és annál $\lambda$-szor hosszabb bármilyen $T$-beli elem esetén.

Mivel $T$ elemeit nevezzük skalárnak, adja magát az elnevezés is. A skalár szó ugyan számot jelent, de ez nem jelent problémát, mivel $T$ általában számhalmaz, rendszerint a valós vagy komplex számok teste.

Lineáris kombináció

A skalárral való szorzás eredménye vektor, így a vektortér eleme, és az összeadásban tag lehet. Ha adott $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ és $\overrightarrow{c}$, valamint $\alpha$, $\beta$ és $\gamma$ skalárok, akkor lineáris kombinációnak nevezzük az alábbi vektort:

$\overrightarrow{r}=\alpha .\overrightarrow{a}+\beta .\overrightarrow{b}+\gamma .\overrightarrow{c}$

Általános alakban írva a lineáris kombináció:

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i.\overrightarrow{a_i}$

Ennek segítségével lehet értelmezni a vektortér dimenzióját is. A nullvektort ugyanis elő lehet állítani

$\overrightarrow{0}=0.\overrightarrow{a_1}+0.\overrightarrow{a_2}+\dots$

alakban. Ezt triviális előállításnak nevezzük. Előfordulhat azonban, hogy a zérusvektort nem nulla skalárokkal is megkaphatjuk, ekkor az $(\overrightarrow{a_i})$ rendszert lineárisan függőnek mondjuk. A legbővebb olyan rendszert, ami lineárisan független a vektortérben, a tér bázisának nevezzük. A bázis elemszáma lesz a vektortér dimenziója.

Ha pedig van egy bázisunk egy vektortérben, akkor bármely vektor megadható egyértelműen a bázis lineáris kombinációjaként. Az együtthatókat ekkor a vektor koordinátáinak nevezzük. Könnyen belátható, hogy két vektor összegének koordinátái a két vektor koordinátáinak összege.

Sablon:-ford-

• Sablon:En: Sablon:T

• vektorművelet