Aranymetszés

1. Sablon:Matematika Olyan arányosság, ami a természetben és művészetben is gyakran megjelenik, természetes egyensúlyt teremtve a szimmetria és az aszimmetria között.

A definícióból kiszámolható, hogy a nagyobb rész (a) hányszorosa a kisebb résznek (b), tehát megkapható az a $\mathrm{\Phi }$ szám, amelyre $a=\mathrm{\Phi }\cdot b$, másképpen: $\mathrm{\Phi }=\frac{a}{b}$ teljesül.

A definíció szerint:

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$

A jobb oldali tört számlálóját és nevezőjét is $b$-vel elosztva:

$\frac{a}{b}=\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}}$

Ebbe $\mathrm{\Phi }=\frac{a}{b}$-t behelyettesítve kapjuk, hogy

$\mathrm{\Phi }=\frac{\mathrm{\Phi }+1}{\mathrm{\Phi }}$

$\mathrm{\Phi }$-vel szorozva, majd 0-ra rendezve:

${\mathrm{\Phi }}^2-\mathrm{\Phi }-1=0$  ; vagyis ${\mathrm{\Phi }}^2$ eggyel nagyobb, $1/\mathrm{\Phi }$ pedig eggyel kisebb, mint  $\mathrm{\Phi }$.

Ezt a másodfokú egyenletet megoldhatjuk a megoldóképlettel:

$\mathrm{\Phi }=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

Az egyenlet negatív gyöke (≈ - 0,618) a feladat jellege miatt nem megoldása a problémának, így:

$\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,61803398874989484820...$

$\mathrm{\Phi }$ irracionális szám, tehát nem írható fel két egész szám hányadosaként, ami a $\sqrt{5}$ irracionalitásából is látható. Algebrai szám, sőt, algebrai egész, hiszen megoldása a fenti polinomegyenletnek.

• aranyarány

Sablon:-etim- Sablon:Összeetim, a német Goldschnitt szó tükörfordítása Sablon:-ford- Sablon:Trans-top

• Sablon:En: Sablon:T, Sablon:T
• Sablon:Ar: Sablon:T
• Sablon:Be: Sablon:T
• Sablon:Cs: Sablon:T
• Sablon:Da: Sablon:T, Sablon:T
• Sablon:Eo: Sablon:T
• Sablon:Et: Sablon:T
• Sablon:Fi: Sablon:T+
• Sablon:Fr: Sablon:T+
• Sablon:El: Sablon:T
• Sablon:Ka: Sablon:T
• Sablon:He: Sablon:T
• Sablon:Nl: Sablon:T
• Sablon:Is: Sablon:T
• Sablon:Ja: Sablon:T
• Sablon:Zh: Sablon:T, Sablon:T
• Sablon:Ko: Sablon:T+

• Sablon:Pl: Sablon:T, Sablon:T
• Sablon:Lv: Sablon:T
• Sablon:Lt: Sablon:T
• Sablon:Lb: Sablon:T
• Sablon:Mk: Sablon:T
• Sablon:De: Sablon:T, Sablon:T
• Sablon:It: Sablon:T+
• Sablon:Ru: Sablon:T
• Sablon:Fa: Sablon:T
• Sablon:Pt: Sablon:T
• Sablon:Ro: Sablon:T
• Sablon:Es: Sablon:T
• Sablon:Sv: Sablon:T+
• Sablon:Sk: Sablon:T
• Sablon:Sl: Sablon:T+
• Sablon:Th: Sablon:T
• Sablon:Tr: Sablon:T+
• Sablon:Uk: Sablon:T
• Sablon:Vi: Sablon:T