Lineáris egyenletrendszer megoldhatósága

1. Sablon:Label Lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele:

1. Az $A\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$ lineáris egyenletrendszer megoldható $\iff$ a $\underset{\_}{b}$ vektor előáll az $A$ együtthatómátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjával.
2. Az $A\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}$ lineáris egyenletrendszer megoldható $\iff r(A)=r([A,\underset{\_}{b}])$, vagyis ha az együtthatómátrix rangja egyenló a kibővített mátrix rangjával

ahol $[A,\underset{\_}{b}]$ az egyenletrendszer kibővített mátrixa:

$[A,\underset{\_}{b}]={\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}& b_1\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& \dots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)}_{m\times (n+1)}$

$$\begin{array}{ccc}\text{Megoldásvektorok száma}& \begin{array}{c}\text{Homogén lin. egyenletrendszer}\\ A_{m\times n}\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{o}\end{array}& \begin{array}{c}\text{Inhomogén lin. egyenletrendszer}\\ A_{m\times n}\cdot \underset{\_}{x}=\underset{\_}{b}\end{array}\\ \text{nincs megoldás}& -& \begin{array}{c}r(A)<r([A,\underset{\_}{b}])\\ M=\varnothing \end{array}\\ \begin{array}{c}\text{1 db. megoldásvektor}\\ \text{egyértelműen megoldható}\end{array}& \begin{array}{c}r(A)=n\\ M_0=\{\underset{\_}{o}\}\end{array}& \begin{array}{c}r(A)=r([A,\underset{\_}{b}])=n\\ M=\{{\underset{\_}{x}}_0\}\end{array}\\ \text{végtelen sok megoldásvektor}& \begin{array}{c}r(A)<n\\ M_0\end{array}& \begin{array}{c}r(A)=r([A,\underset{\_}{b}])<n\\ M=M_0+\left\{{\underset{\_}{x}}_0\right\}\end{array}\end{array}$$ Sablon:-ford-

• Sablon:En: Sablon:T