Darboux-tétel

1. Sablon:Humatek A Darboux-tétel a matematikai analízisben azt mondja ki, hogy egy intervallumon differenciálható függvény deriváltfüggvénye olyan, hogy bármely két függvényértéke közé eső értéket felvesz. A tétel egyik következménye, hogy a deriváltfüggvénynek ugrása vagy megszüntethető szakadása semmiképpen nem lehet.

---

Darboux-tétel

A **Darboux-tétel** az analízis egyik fontos tétele, amely a deriváltak viselkedésére vonatkozik. A tétel kimondja, hogy ha egy függvény deriválható egy zárt intervallumon, akkor a deriváltja teljesíti a középértéktételhez hasonló tulajdonságot.

---

Tétel

Legyen $f$ egy valós-valós függvény, amely deriválható az $[a,b]$ intervallumon. Ha $f^{\prime }(a)$ és $f^{\prime }(b)$ a derivált értékei az intervallum végpontjaiban, akkor minden $c$ számra, amelyre $f^{\prime }(a)\le c\le f^{\prime }(b)$ (vagy $f^{\prime }(b)\le c\le f^{\prime }(a)$), létezik egy $x\in (a,b)$, amelyre:

$$f^{\prime }(x)=c.$$

---

Értelemezés

A Darboux-tétel kimondja, hogy a derivált függvény nem kell, hogy folytonos legyen, de rendelkezik az intervallumtulajdonsággal. Ez azt jelenti, hogy ha a derivált egy adott intervallum végpontjaiban felvesz két különböző értéket, akkor az intervallumban bármely köztes értéket is felvesz.

---

Bizonyítás

1. Előzetes feltételek

Legyen $f$ egy deriválható függvény az $[a,b]$-n, és legyen $f^{\prime }(a)=p$, $f^{\prime }(b)=q$, ahol $p\ne q$. Tegyük fel, hogy $c$ egy szám az $[p,q]$ intervallumban (feltételezhetjük, hogy $p<q$ a könnyebb érthetőség kedvéért).

---

2. Segédfüggvény definiálása

Definiáljunk egy segédfüggvényt: $$g(x)=f(x)-c\cdot x.$$ Ez a függvény egyszerűen a $f(x)$ függvényt módosítja azzal, hogy levonja az $c$-vel súlyozott $x$-et.

---

3. A segédfüggvény deriváltja

A $g(x)$ függvény deriváltja: $$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-c.$$

---

4. Alkalmazzuk a középértéktételt

A $g(x)$ folytonos az $[a,b]$-n és differenciálható az $(a,b)$-n, mivel $f(x)$ is rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal. Az $g(x)$ értékei az intervallum végpontjain: $$g(a)=f(a)-c\cdot a,g(b)=f(b)-c\cdot b.$$

Tegyük fel, hogy $g(a)\ne g(b)$. Az $g^{\prime }(x)=0$ teljesül az $(a,b)$ intervallumban valamilyen $x$-re a középértéktétel miatt. Ekkor: $$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-c=0⟹f^{\prime }(x)=c.$$

---

5. Következtetés

Ez azt jelenti, hogy a $f^{\prime }(x)$ derivált az $(a,b)$-n felveszi a $c$ értéket. Mivel $c$ bármelyik szám lehet az $[p,q]$ intervallumban, ez teljesíti a tétel állítását.

---

Következmények

1. Deriváltak és folytonosság:

A derivált nem szükségszerűen folytonos (például ha $f(x)$ egy deriválható függvény, amelynek deriváltja ugrásszerűen változik), de a derivált megőrzi az intervallumtulajdonságot.

1. Kapcsolat a középértéktétellel:

A Darboux-tétel az egyváltozós függvények középértéktételének kiterjesztése a deriváltakra.

1. Nem folytonos deriváltak példája:

Például a következő függvény: $$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)& \text{ha }x\ne 0,\\ 0& \text{ha }x=0,\end{array}$$ deriválható, de a deriváltja nem folytonos. Ennek ellenére teljesíti a Darboux-tételt.

---

Példa

Legyen $f(x)=x^3$ az $[a,b]=[-1,1]$ intervallumon. Ekkor: $$f^{\prime }(x)=3x^2.$$ A derivált $f^{\prime }(a)=f^{\prime }(-1)=3$ és $f^{\prime }(b)=f^{\prime }(1)=3$. Az intervallumban a $f^{\prime }(x)$ értékei $[0,3]$-t fedik le. A Darboux-tétel szerint az $(a,b)$-n bármely $c\in [0,3]$-ra létezik egy $x\in (-1,1)$, ahol $f^{\prime }(x)=c$.

---

Összefoglalás

A **Darboux-tétel** megmutatja, hogy a deriváltaknak van egy "folytonosságszerű" tulajdonságuk az értékkészletükre nézve, még akkor is, ha maguk a deriváltfüggvények nem folytonosak. Ez fontos szerepet játszik az analízisben, különösen a deriváltak viselkedésének mélyebb megértésében.

• Sablon:En: Sablon:T