Fubini-tétel

1. Sablon:Humatek A **Fubini-tétel** az integrálszámítás egyik alapvető tétele, amely kimondja, hogy megfelelő feltételek mellett a kettős integrálok számítása egyszerűsíthető iterált integrálokká. Ez lehetővé teszi, hogy a többváltozós integrálokat egyváltozós integrálok sorozatára bontsuk.

Ez azt jelenti, hogy a kétszeres integrál értéke nem függ az iterált integrál sorrendjétől, feltéve hogy a feltételek teljesülnek.

Fontos Feltételek

1. **Integrálhatóság**:

  - A $f(x,y)$ függvénynek Lebesgue-integrálhatónak kell lennie a $D$ tartományon.

1. **Zárt tartomány**:

  - A $D$ tartomány általában egy zárt téglalap ($[a,b]\times [c,d]$).

1. **Folytonosság vagy Lebesgue-integrálhatóság**:

  - Ha $f(x,y)$ folytonos, a tétel automatikusan teljesül.
  - Lebesgue-integrálhatóság esetén további feltételek szükségesek, például abszolút integrálhatóság.

Tétel Magyarázata

A Fubini-tétel lehetővé teszi, hogy a kétszeres integrált iterált integrálként írjuk fel: $$\int \underset{D}{\int }f(x,y)dA=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx=\underset{c}{\overset{d}{\int }}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx)dy.$$ Ez jelentősen egyszerűsíti a többváltozós integrálok számítását, mert így a két dimenziót külön-külön kezelhetjük.

Bizonyítás

1. Előkészítés

Tegyük fel, hogy $f(x,y)$ egy darabonként folytonos függvény a $D=[a,b]\times [c,d]$ téglalapon. Lebesgue-integrálható függvények esetén a bizonyítás további technikai részleteket igényel.

2. Parciális integrálok definiálása

Legyen a belső integrál: $$F(x)=\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy,$$ és számítsuk ki ennek külső integrálját: $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy)dx.$$ Ez adja a kettős integrált az $x$-irány szerinti iterált integrál formájában.

3. Felcserélhetőség igazolása

- A Lebesgue-integrálhatóság miatt a $f(x,y)$ függvény integrálható a $[a,b]\times [c,d]$ tartományon. - A szimmetrikus feltételek biztosítják, hogy a deriváltak és határértékek felcserélhetők: $$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dydx=\underset{c}{\overset{d}{\int }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dxdy.$$

4. Következtetés

Mivel az iterált integrál sorrendje nem változtatja meg az integrál értékét, a kétszeres integrál értéke az iterált integrálok bármely sorrendjében azonos.

Példák

Példa 1: Egyszerű függvény

Legyen: $$f(x,y)=x+y,D=[0,1]\times [0,1].$$ Számítsuk ki a kettős integrált: $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+y)dydx.$$ 1. Belső integrál ($y$-szerint): $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+y)dy={[xy+\frac{y^2}{2}]}_0^1=x+\frac{1}{2}.$$ 2. Külső integrál ($x$-szerint): $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+\frac{1}{2})dx={[\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}]}_0^1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$

Példa 2: Felcserélhető iterált integrálok

Legyen: $$f(x,y)=xy,D=[0,2]\times [0,3].$$ 1. Iterált integrál ($x$-szerint belül, $y$-szerint kívül): $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\underset{0}{\overset{2}{\int }}xydxdy=\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left[\frac{x^{2}y}{2}\right]}_0^{2}dy=\underset{0}{\overset{3}{\int }}2ydy={\left[y^2\right]}_0^3=9.$$ 2. Felcserélve a sorrendet: $$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\underset{0}{\overset{3}{\int }}xydydx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left[\frac{x{y}^2}{2}\right]}_0^{3}dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{9x}{2}dx={\left[\frac{9x^2}{4}\right]}_0^2=9.$$ Mindkét esetben az eredmény ugyanaz.

Fontos Következmények

1. **Iterált integrálok kiszámítása**:

  - A tétel lehetővé teszi, hogy a kettős integrálokat iterált integrálokra bontsuk, megkönnyítve a számítást.

1. **Szimmetria a dimenziók között**:

  - A Fubini-tétel biztosítja, hogy a dimenziók sorrendje felcserélhető, ha a feltételek teljesülnek.

1. **Lebesgue-integrál alkalmazása**:

  - A tétel alapvető szerepet játszik a Lebesgue-integrál elméletében, amely általánosítja a Riemann-integrált.

Összegzés

A **Fubini-tétel** a többdimenziós integrálszámítás kulcsfontosságú eszköze, amely lehetővé teszi, hogy kettős (vagy magasabb rendű) integrálokat iterált integrálokká alakítsunk. Ez jelentős mértékben megkönnyíti az integrálok kiszámítását mind az elméleti, mind a gyakorlati alkalmazásokban.

• Sablon:En: Sablon:T