Boudan-Fourier-tétel

1. Sablon:Humatek A Budan–Fourier-tétel a valós gyökök számának becslésére szolgál egy adott intervallumban, amelyet egy valós együtthatós polinom ad meg.

Fogalmak

Előjelváltás ($V(x)$)

- Egy polinom $f(x)$ és annak deriváltjai ($f,f^{\prime },f^{″},\dots$) $x=c$ helyen való helyettesítése után kapott értékek sorozatában fellépő előjelváltások száma. - Például, ha a sorozat $(+,-,-,+)$, akkor az előjelváltások száma: 2 (mert $+\to -$ és $-\to +$).

Polinom deriváltjai

- A polinom deriváltjait sorozatként kezeljük:

 $f(x),f^{\prime }(x),f^{″}(x),\dots$

Budan–Fourier-tétel Alkalmazása

1. Polinom és intervallum megadása:

  Legyen $f(x)$ egy adott polinom, és legyen az intervallum $[a,b]$.

1. Előjelváltások számolása:

  - Számítsuk ki $V(a)$-t: Az $f(x)$ és deriváltjainak $x=a$-ban vett előjelváltásainak száma.
  - Számítsuk ki $V(b)$-t: Ugyanez $x=b$-ben.

1. Gyökök becslése:

  - Az intervallumban lévő valós gyökök maximális száma:
    $V(a)-V(b).$
  - A gyökök száma ezen felül csak páros értékkel csökkenhet.

Bizonyítás

1. Alapötlet

- A polinom deriváltjai előjelváltozásai kapcsolódnak a polinom nullhelyeinek jelenlétéhez. - Az $x=a$-ból $x=b$-be történő mozgás során az előjelváltások eltérése a gyökök számát korlátozza.

2. Deriváltak és előjelváltások

- Ha egy polinom $f(x)$ az $(a,b)$ intervallumban gyökkel rendelkezik, akkor $f(x)$ és deriváltjainak viselkedése határozza meg az előjelváltások számát.

3. Redukció páros gyökök esetén

- Ha egy gyök páros multiplicitású, az előjelváltás nem történik meg az adott helyen. - Ezért az előjelváltások száma csak akkor csökken, ha páratlan multiplicitású gyök van az intervallumban.

4. Következtetés

- Az $V(a)-V(b)$ előjelváltások különbsége a gyökök maximális számát adja, figyelembe véve, hogy páros multiplicitású gyökök nem csökkentik az előjelváltások számát.

Példa

Polinom

Legyen $f(x)=x^3-3x^2+2x$.

Intervallum

Vizsgáljuk az $[0,3]$ intervallumot.

1. Polinom deriváltjai:

  - $f(x)=x^3-3x^2+2x$,
  - $f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2$,
  - $f^{″}(x)=6x-6$,
  - $f^{‴}(x)=6$.

1. Előjelváltások $x=0$-nál:

  - $f(0)=0$,
  - $f^{\prime }(0)=2$,
  - $f^{″}(0)=-6$,
  - $f^{‴}(0)=6$.
  - Előjelek: $0,+,-,+$.
  - Az előjelváltások száma: $V(0)=2$.

1. Előjelváltások $x=3$-nál:

  - $f(3)=0$,
  - $f^{\prime }(3)=5$,
  - $f^{″}(3)=12$,
  - $f^{‴}(3)=6$.
  - Előjelek: $0,+,+,+$.
  - Az előjelváltások száma: $V(3)=0$.

1. Gyökök száma:

  - $V(0)-V(3)=2-0=2$.
  - Az $[0,3]$ intervallumban maximum két valós gyök található.

Fontos Következmények

1. Valós gyökök felső becslése:

  - A Budan–Fourier-tétel egyszerűen megadja a valós gyökök maximális számát egy intervallumban.

1. Multiplicitás figyelembevétele:

  - Páros multiplicitású gyökök nem okoznak előjelváltást, míg páratlan multiplicitású gyökök előjelváltást eredményeznek.

1. Alkalmazások:

  - Gyökök keresése valós együtthatós polinomok esetén.
  - Numerikus módszerek és algebrai rendszerek.

Összegzés

A Budan–Fourier-tétel hatékony eszköz a valós gyökök számának becslésére egy polinom adott intervallumában. Bár a tétel nem adja meg pontosan a gyökök helyét vagy értékét, felső becslést nyújt, amely számos numerikus módszer alapját képezi. A tétel kombinálása más módszerekkel, például a bisection vagy Newton-iterációval, lehetővé teszi a gyökök pontosabb meghatározását.

• Sablon:En: Sablon:T, Sablon:T