Cauchy-féle integráltétel

1. Sablon:Label A Cauchy-féle integráltétel a komplex analízis egyik alapvető tétele, amely a komplex függvények viselkedését írja le az analitikus függvények esetében.

Tétel

Legyen $f(z)$ egy komplex függvény, amely az $U$ nyílt tartományban holomorf, és $C$ egy zárt, egyszeresen összefüggő, pozitív irányítású sima görbe, amely teljes egészében $U$-n belül van. Ekkor:

$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$

Azaz, ha egy függvény holomorf egy egyszeresen összefüggő tartományban, akkor bármely zárt görbe mentén vett komplex görbeintegrálja nulla.

---

Bizonyítás

1. Green-tétel

A síkbeli Green-tétel kimondja, hogy ha $P(x,y)$ és $Q(x,y)$ két folytonosan differenciálható függvény egy egyszeresen összefüggő tartományban, akkor a zárt görbe menti integrál:

$${\oint }_{C}Pdx+Qdy=\underset{R}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy,$$

ahol $R$ a $C$-vel határolt tartomány.

---

2. Komplex függvények és görbeintegrálok kapcsolatának alkalmazása

A komplex függvények görbeintegrálját a következőképpen írhatjuk fel:

$${\oint }_{C}f(z)dz={\oint }_{C}u(x,y)dx-v(x,y)dy+i{\oint }_{C}v(x,y)dx+u(x,y)dy,$$

ahol $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, $z=x+iy$, és $u(x,y)$, $v(x,y)$ a valós és képzetes rész.

---

3. Holomorf függvény feltételeinek felhasználása

Ha $f(z)$ holomorf, akkor a Cauchy–Riemann-egyenletek teljesülnek:

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

Most alkalmazzuk a Green-tételt:

1. Az $u(x,y)$-re és $v(x,y)$-re alkalmazva a Green-tételt, a zárt görbe menti integrál területi integrállá alakítható.
2. A holomorfia miatt a Cauchy–Riemann-egyenletek alapján a következő teljesül:

$$\underset{R}{\iint }(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})dxdy=0,$$ és $$\underset{R}{\iint }(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y})dxdy=0.$$

Mivel mindkét kifejezés zérus, az eredeti integrál: $${\oint }_{C}f(z)dz=0.$$

---

4. Következtetés

A Cauchy-féle integráltétel tehát abból következik, hogy egy holomorf függvény deriváltja folytonos, és teljesíti a Cauchy–Riemann-egyenleteket. Ezért bármely zárt görbe menti komplex görbeintegrálja nulla.

---

Megjegyzés

A Cauchy-féle integráltétel fontos következménye a **Cauchy-integrálformula**, amely lehetővé teszi az analitikus függvények explicit kiszámítását zárt görbe menti integrálok segítségével. Ha érdekel, részletesen kifejthetem!

---

• Sablon:En: Sablon:T