Cauchy-tétel

1. Sablon:Humatek Ha a G véges csoport rendje osztható a p prímszámmal, akkor G -ben van p rendű elem.

---

A Cauchy-tétel a véges csoportelmélet egyik alapvető tétele, amely kimondja:

Ez azt jelenti, hogy $G$-ben létezik olyan $x\in G$ elem, amely kielégíti $x^p=e$, ahol $e$ a csoport egységeleme.

Fontos Fogalmak

Csoport rendje

- Egy véges csoport ($G$) rendje az elemeinek száma: $|G|$.

Elem rendje

- Egy $g\in G$ elem rendje a legkisebb pozitív $n$, amelyre $g^n=e$, ahol $e$ a csoport egységeleme.

Prímosztó

- Egy $p$ prímszám osztója $|G|$-nek, ha $|G|$ osztható $p$-vel ($p\mid |G|$).

Cauchy-tétel Bizonyítása

1. Előkészítés

Legyen $G$ egy véges csoport, $|G|=n$, és $p\mid n$, ahol $p$ prímszám.

2. Csoportos műveletek

- Tekintsük $G$ elemeinek minden lehetséges $p$-adik hatványát: $x^p=e\text{azt vizsgáljuk, hogy van-e ilyen elem.}$

3. Hatványelemek és ekvivalenciaosztályok

A csoportban az $x^p=e$ feltétel megoldásait vizsgáljuk: - Az elemek $p$-adik hatványai egy részcsoportot alkotnak. - Az ismert Lagrange-tétel szerint minden ilyen részcsoport rendje osztja $|G|$-t. - Ezért léteznie kell olyan $g$-nek, amely $p$-rendű (azaz $g^p=e$ és $g^k\ne e$, ha $0<k<p$).

4. Csoporthatások alkalmazása

Definiáljuk a $G$ csoport hatását saját magán a következőképpen: - Tekintsük az $X=\{(g_1,g_2,\dots ,g_p)\in G^p\mid g_1{g}_2\cdots g_p=e\}$ halmazt. - $G$ csoport hat az $X$-en a következő módon: $g\cdot (g_1,g_2,\dots ,g_p)=(g\cdot g_1,g\cdot g_2,\dots ,g\cdot g_p).$

5. Orbit-összeg tétel alkalmazása

Az orbit-összeg tétel alapján a halmaz elemeinek száma osztható $p$-vel. Mivel létezik legalább egy $p$-elemes orbit, $G$-ben van olyan elem, amely $p$-rendű.

6. Következtetés

Ez biztosítja, hogy $G$-ben létezik olyan elem, amelynek rendje $p$.

Példák

Példa 1: $G={\mathbb{Z}}_6$

- $|G|=6$, $p=2$ (prímosztója 6-nak). - $G=\{0,1,2,3,4,5\}$ modulo összeadási művelettel. - A $2$-rendű elemek: $3$, mivel $3+3=6\equiv 0(\mathrm{mod}6)$.

Példa 2: $G=S_3$

- $|G|=6$, $p=3$ (prímosztója 6-nak). - Az $S_3$ permutációs csoportban a $(123)$-hoz tartozó elem $3$-rendű, mivel $(123{)}^3=e$.

Fontos Következmények

1. Prímrendű elemek létezése:

  - Minden véges csoportban léteznek olyan elemek, amelyek rendje bármely $|G|$-t osztó prím.

1. Speciális csoportok szerkezete:

  - Egyszerű $p$-csoportok (például a ciklikus ${\mathbb{Z}}_p$) minden eleme $p$-rendű.

1. Sylow-tételek alapja:

  - A Cauchy-tétel a Sylow-tételek egyik speciális esete.

Összegzés

A Cauchy-tétel garantálja, hogy bármely véges csoportban léteznek olyan elemek, amelyek rendje a csoport rendjének prímosztója. Ez a tétel alapvető eszközt nyújt a véges csoportok szerkezetének elemzéséhez, és a csoportelmélet egyik fontos sarokköve.

• Sablon:En: Sablon:T