Taylor-sor

1. Sablon:Humatek

A matematikában Taylor-sornak nevezünk hatványfüggvényeknek egy speciális alakú függvénysorát. A Taylor-sorok határértékben gyakran előállítanak bonyolultabb függvényeket (például trigonometrikus vagy hiperbolikus függvényeket), melyek közelítő értékei így pusztán hatványozással kiszámíthatók. A függvények Taylor-sor alakjában történő felírását a függvények hatványsorba fejtésének nevezzük.

Legyen $\sum (c_n\cdot (x-a{)}^n)$ az a pont körüli valós (vagy komplex) hatványsor és legyen ennek konvergenciatartománya a valós (vagy komplex) számok V részhalmaza. Azt mondjuk, hogy ∑(c_n(x-a)ⁿ) Taylor-sor, ha létezik olyan f, az a pont egy környezetén értelmezett, az a pontban végtelenszer differenciálható (valós vagy komplex) függvény, hogy minden n nemnegatív egész számra

$c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$,

ahol $f^{(n)}(a)$ az f függvény a-beli n-edik deriváltját jelöli (vagyis a megállapodás szerint f ⁽⁰⁾ = f, f ⁽¹⁾ = f ' , f ⁽²⁾ = f " , …), n! pedig az n szám faktoriálisa.

Azaz a ∑ ( c_n(x-a)ⁿ ) Taylor-sor összegfüggvénye ( T ) minden egyes x ∈ V pontban:

$T(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Úgy is szokás fogalmazni, hogy a fenti sor az f függvény a ponthoz tartozó Taylor-sora. Ebben az esetben az f függvény a pont körüli Taylor-sorának összegfüggvényét $T_a^f$ jelöli.

Amennyiben a hatványsor középpontja 0, azaz a sorösszeg

$T(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$,

akkor a Taylor-sort még Maclaurin-sornak is nevezzük. Sablon:-ford-

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Fr: Sablon:T
• Sablon:De: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T