Матрица

1. Sablon:Rumatek mátrix

---

Что такое матрица в математике?

📌 Матрица — это прямоугольная таблица чисел, символов или выражений, расположенных в строках и столбцах.

Она записывается в виде двумерного массива и часто обозначается заглавной буквой, например, A, B, C.

Пример матрицы A размером 3×3 (3 строки, 3 столбца):

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

—

Обозначение и элементы матрицы

Матрица размером m × n (где m – количество строк, n – количество столбцов) обозначается так:

$$A=(a_{ij})$$

Где: - $a_{ij}$ — элемент матрицы, стоящий в i-й строке и j-м столбце. - Например, для матрицы A выше: - $a_{12}=2$ (2-й элемент первой строки). - $a_{31}=7$ (1-й элемент третьей строки).

—

Основные виды матриц

1️⃣ Квадратная матрица

Матрица, где число строк = числу столбцов: $$B=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right]$$ ✅ У таких матриц можно вычислять определитель.

2️⃣ Диагональная матрица

Элементы вне главной диагонали равны нулю: $$D=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 7\end{array}\right]$$

3️⃣ Единичная матрица $I$

Диагональная матрица, где все диагональные элементы равны 1: $$I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$ ✅ Это аналог "1" в матричной алгебре (нейтральный элемент при умножении).

4️⃣ Нулевая матрица

Все элементы равны 0: $$O=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

5️⃣ Транспонированная матрица

При транспонировании строки становятся столбцами: $$A^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right]$$ ✅ Записывается как $A^T$.

—

Операции с матрицами

➕ Сложение матриц

Матрицы одинакового размера складываются поэлементно: $$A+B=\left[\begin{array}{cc}1+2& 2+4\\ 3+1& 4+3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 4& 7\end{array}\right]$$

✖️ Умножение матрицы на число

Каждый элемент умножается на число λ: $$2\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right]$$

✖️ Умножение матриц

Две матрицы можно умножить, если число столбцов первой = числу строк второй.

Пример: $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$$

Умножаем строки первой на столбцы второй: $$A\times B=\left[\begin{array}{cc}(1\cdot 5+2\cdot 7)& (1\cdot 6+2\cdot 8)\\ (3\cdot 5+4\cdot 7)& (3\cdot 6+4\cdot 8)\end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right]$$

✅ Это используется в компьютерной графике, искусственном интеллекте и статистике.

—

Применение матриц

🔹 Компьютерная графика – трансформации изображений. 🔹 Машинное обучение – работа с данными и нейросетями. 🔹 Физика и инженерия – расчеты в механике. 🔹 Экономика – анализ данных и модели финансов. 🔹 Шифрование – защита информации (например, RSA).

—

Вывод

🔹 Матрица – это прямоугольная таблица чисел, полезная для вычислений и представления данных. 🔹 Основные операции: сложение, умножение, транспонирование. 🔹 Применяется в математике, программировании, науке и технике. 🚀