Valószínűségszámítás

1. Sablon:Label

A valószínűségszámítás a matematika egy ága, amely a véletlenszerű jelenségek modellezésével, elemzésével és előrejelzésével foglalkozik. Ez az eszköz alapvető fontosságú számos tudományterületen, beleértve a statisztikát, a fizikát, a biológiát, a közgazdaságtant és a gépi tanulást.

Alapfogalmak

Mintatér (Omega)

A mintatér ($\mathrm{\Omega }$) az összes lehetséges kimenetel halmaza egy adott kísérletben.

• Példa: Egy érme feldobásakor $\mathrm{\Omega }=\{F,I\}$, ahol $F$ a fej, $I$ az írás.

Események

Egy esemény az alapmintatér részhalmaza.

• Példa: Az a kimenetel, hogy az érme fej lesz ($A=\{F\}$).

Valószínűség (P)

A valószínűség egy függvény, amely egy eseményhez $[0,1]$-beli számot rendel, és teljesíti Kolmogorov axiómáit: 1. $P(A)\ge 0$ minden $A\subseteq \mathrm{\Omega }$-ra. 2. $P(\mathrm{\Omega })=1$. 3. Ha $A$ és $B$ egymást kizáró események, akkor $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Feltételes valószínűség

Egy esemény valószínűsége feltéve, hogy egy másik esemény bekövetkezett: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},P(B)>0.$

Függetlenség

Két esemény $A$ és $B$ független, ha: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$

Fontos tételek

Teljes valószínűség tétele

Ha $B_1,B_2,\dots ,B_n$ egymást kizáró események és $\underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{B}_i=\mathrm{\Omega }$, akkor bármely $A$-ra: $P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A|B_i)\cdot P(B_i).$

Bayes-tétel

A Bayes-tétel segítségével egy feltételes valószínűséget visszafelé számolhatunk: $P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)\cdot P(B_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)\cdot P(B_j)}.$

Diszkrét valószínűségi eloszlások

Bernoulli eloszlás

Egyszeri kísérlet két lehetséges kimenettel (siker vagy kudarc).

• Valószínűségi függvény:

$P(X=k)=p^k\cdot (1-p{)}^{1-k},k=0,1.$

• Várható érték: $E(X)=p$.
• Szórás: $\sigma (X)=\sqrt{p(1-p)}$.

Binomiális eloszlás

Egy $n$ számú független Bernoulli-kísérlet során a sikerek száma.

• Valószínűségi függvény:

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}.$

• Várható érték: $E(X)=n\cdot p$.
• Szórás: $\sigma (X)=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$.

Geometriai eloszlás

Az első sikerig tartó kísérletek száma.

• Valószínűségi függvény:

$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}\cdot p.$

• Várható érték: $E(X)=\frac{1}{p}$.
• Szórás: $\sigma (X)=\frac{\sqrt{1-p}}{p}$.

Poisson eloszlás

Egy adott időszakban bekövetkező ritka események száma.

• Valószínűségi függvény:

$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k\cdot e^{-\lambda }}{k!}.$

• Várható érték: $E(X)=\lambda$.
• Szórás: $\sigma (X)=\sqrt{\lambda }$.

Folytonos valószínűségi eloszlások

Egyenletes eloszlás

Egy $[a,b]$ intervallumon belül az összes érték egyenlő valószínűséggel fordul elő.

• Sűrűségfüggvény:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a},& \text{ha }a\le x\le b,\\ 0,& \text{egyébként.}\end{array}$

• Várható érték: $E(X)=\frac{a+b}{2}$.
• Szórás: $\sigma (X)=\frac{b-a}{\sqrt{12}}$.

Normális eloszlás

Sok véletlen hatás eredményeként kialakuló eloszlás.

• Sűrűségfüggvény:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}.$

• Várható érték: $\mu$.
• Szórás: $\sigma$.

Gyakorlati alkalmazások

A valószínűségszámítást széles körben alkalmazzák:

• Statisztika: Mintavétel és hipotézisvizsgálat.
• Fizika: Kvantummechanikai jelenségek modellezése.
• Közgazdaságtan: Piaci kockázatok elemzése.
• Gépi tanulás: Valószínűségi modellek a predikcióhoz.
• Biológia: Genetikai kísérletek elemzése.

Összefoglalás

A valószínűségszámítás alapvető eszköz a bizonytalanság kezelésekor. Az elméleti alapok, mint Kolmogorov axiómái, valamint a gyakorlati eloszlások és tételek együttesen teszik lehetővé a valószínűségi modellek alkalmazását a valós élet problémáiban.

Sablon:-ford-

• Sablon:En: Sablon:T
• Sablon:Fr: Sablon:T
• Sablon:De: Sablon:T
• Sablon:Ru: Sablon:T