Monotonitás

1. Sablon:Label == Függvények monotonitása ==

A **monotonitás** a függvény értékeinek változását írja le a definíciós tartományban. Egy függvény lehet monoton növekvő, csökkenő, vagy állandó egy adott intervallumon.

Definíció

Egy $f(x)$ függvény:

• **Monoton növekvő**, ha minden $x_1,x_2$-re a tartományában, ahol $x_1<x_2$: $f(x_1)\le f(x_2).$
• **Monoton csökkenő**, ha minden $x_1,x_2$-re a tartományában, ahol $x_1<x_2$: $f(x_1)\ge f(x_2).$
• **Szigorúan növekvő**, ha: $f(x_1)<f(x_2).$
• **Szigorúan csökkenő**, ha: $f(x_1)>f(x_2).$

Monotonitás és derivált

Ha egy $f(x)$ függvény differenciálható, akkor:

• Ha $f^{\prime }(x)>0$ az intervallum minden pontjában, akkor $f(x)$ **szigorúan növekvő** az adott intervallumon.
• Ha $f^{\prime }(x)<0$, akkor $f(x)$ **szigorúan csökkenő**.
• Ha $f^{\prime }(x)=0$, a függvény állandó lehet, vagy további vizsgálat szükséges.

Példák

1. Az $f(x)=x^2$ függvény:
   • Az $x\in [0,\mathrm{\infty })$ tartományon $f(x)$ monoton növekvő, mivel $f^{\prime }(x)=2x>0$.
2. Az $g(x)=-x^3$ függvény:
   • Az $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ tartományon $g(x)$ monoton csökkenő, mivel $g^{\prime }(x)=-3x^2<0$ minden $x\ne 0$ pontban.

Monotonitás intervallumokon

Egy függvény eltérő monoton viselkedést mutathat különböző intervallumokon. Példa:

• Az $h(x)=x^3-3x$ függvény:
  • Derivált: $h^{\prime }(x)=3x^2-3.$
  • Az $h^{\prime }(x)$ gyökei: $x=-1$ és $x=1.$
  • Monotonitás:
    • $h(x)$ növekvő az $(-\mathrm{\infty },-1)$ és $(1,\mathrm{\infty })$ intervallumokon.
    • $h(x)$ csökkenő az $(-1,1)$ intervallumon.

Következtetés

A monotonitás fontos eszköz a függvények viselkedésének elemzéséhez, a növekedési vagy csökkenési tartományok meghatározásához, és szélsőértékek kereséséhez.

• Sablon:En: Sablon:T+