Симплекс-метод

1. Sablon:Label szimplex módszer

---

Симплекс-метод — это алгоритм, используемый для решения задач линейного программирования, то есть для нахождения оптимального решения задачи, в которой нужно минимизировать или максимизировать линейную функцию при соблюдении определённых линейных ограничений.

Метод был разработан Джорджем Данцигом в 1947 году и является одним из наиболее популярных методов решения задач линейного программирования, благодаря своей эффективности в практике.

Задача линейного программирования (ЛП)

Максимизировать (или минимизировать):

$$Z=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\dots +c_n{x}_n$$ при условии: $$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n\le b_1$$ $$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n\le b_2$$ $$⋮$$ $$a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n\le b_m$$ где:

• $Z$ — целевая функция,
• $x_1,x_2,\dots ,x_n$ — переменные,
• $c_1,c_2,\dots ,c_n$ — коэффициенты целевой функции,
• $a_{ij}$ — коэффициенты при переменных в ограничениях,
• $b_1,b_2,\dots ,b_m$ — правые части ограничений.

Этапы симплекс-метода

1. Преобразование задачи в каноническую форму: - Все ограничения должны быть приведены к форме $a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\dots +a_{in}{x}_n=b_i$, где $b_i\ge 0$.

• Для этого вводятся дополнительные переменные (искусственные переменные или переменные Slack), чтобы все ограничения стали равенствами.

1. Построение начальной симплекс-таблицы:
   • Исходя из преобразованной задачи, строится начальная симплекс-таблица, в которой указаны коэффициенты целевой функции и ограничений.
2. Выбор ведущего столбца (проверка оптимальности):
   • В симплекс-методе выбирается столбец, в котором элемент имеет наибольший (по модулю) коэффициент в строке целевой функции. Это будет переменная, которая будет увеличиваться.
3. Выбор ведущей строки:
   • Для выбранного столбца рассчитывается отношение правых частей ограничений к соответствующим элементам столбца. Это позволяет выбрать строку, которая указывает, какую переменную надо заменить.
4. Проведение итерации:
   • Пересчитываются все элементы симплекс-таблицы, заменяя одну переменную другой (перемещая по таблице), и повторяется процесс.
5. Проверка завершения:
   • Итерации продолжаются, пока все коэффициенты целевой функции не будут отрицательными (для задачи максимизации). Когда это условие выполняется, решение найдено.
6. Интерпретация решения:
   • Полученная симплекс-таблица представляет оптимальное решение задачи.

Пример

Задача линейного программирования: Максимизировать $Z=3x_1+2x_2$ при ограничениях: $$x_1+x_2\le 4$$ $$2x_1+x_2\le 5$$ и $x_1,x_2\ge 0$.

Решение с использованием симплекс-метода включает:

• Введение дополнительных переменных для преобразования неравенств в равенства.
• Построение симплекс-таблицы и итерации до нахождения оптимума.

Преимущества и недостатки симплекс-метода

Преимущества:

• Метод позволяет эффективно решать задачи с большим количеством переменных и ограничений.
• Он хорошо работает на практике, несмотря на теоретическую сложность (в худшем случае его время работы может быть экспоненциальным).

Недостатки:

• Симплекс-метод не гарантирует нахождение глобального оптимума за полиномиальное время в худшем случае.
• Для некоторых типов задач могут быть случаи, когда метод не находит решение, и требуется использование других методов (например, метод внутренней точки).

Таким образом, симплекс-метод остаётся одним из самых эффективных и широко применяемых алгоритмов для решения задач линейного программирования. Sablon:Rusl