Helly-tétel

1. Sablon:Label

Helly-tétel

A **Helly-tétel** a konvex geometria egyik alapvető eredménye, amely a konvex halmazok metszetének tulajdonságait írja le.

A tétel megfogalmazása

Legyen $𝒞=\{C_1,C_2,\dots ,C_n\}$ egy véges halmaza a ${ℝ}^d$ tér konvex részhalmazainak ($n\ge d+1$), és tegyük fel, hogy bármely $d+1$ halmaz a $𝒞$-ből nem üres metszettel rendelkezik. Ekkor az összes halmaz metszete sem üres:

$\bigcap _{i=1}^n{C}_i\ne \mathrm{\varnothing }.$

Magyarázat

A tétel kimondja, hogy ha a konvex halmazok egy véges rendszere bizonyos kis csoportjaikban (pontosabban $d+1$ halmazonként) nem üres metszettel rendelkezik, akkor a teljes halmazrendszer metszete is nem üres.

• **Konvex halmaz:** Egy halmaz konvex, ha bármely két pontját összekötő szakasz teljes egészében a halmaz része.
• **Dimenzió $d$:** A tétel alkalmazásában $d$ a tér dimenzióját jelöli.

Ez a tétel a geometriai és kombinatorikai problémák fontos eszköze.

Példa

Legyen $d=2$, tehát a síkon dolgozunk, és legyenek $C_1,C_2,C_3$ konvex halmazok.

Tegyük fel, hogy:

• $C_1\cap C_2\ne \mathrm{\varnothing }$,
• $C_2\cap C_3\ne \mathrm{\varnothing }$,
• <math>C_1 \cap C_3 \neq \emptyset</math