Goursat-lemma

1. Sablon:Label

Goursat-lemma

A **Goursat-lemma** egy fontos tétel az algebra és a csoportelmélet területén, amely a homomorfizmusok magját és képét kapcsolja össze.

A tétel megfogalmazása

Legyen $G$ és $H$ két csoport, valamint $\phi :G\to H$ egy homomorfizmus. Ekkor:

• A homomorfizmus képe, $\mathrm{I}\mathrm{m}(\phi )$, egy részcsoport $H$-ban.
• A homomorfizmus magja, $\ker (\phi )$, egy normálosztó $G$-ben.
• Ha $\phi$ szürjektív, akkor a következő áll fenn:

$G/\ker (\phi )\cong \mathrm{I}\mathrm{m}(\phi ),$ ahol $\cong$ a csoportok izomorfizmusát jelöli.

Magyarázat

A Goursat-lemma az ún. **homomorfizmus-tétel** egyik speciális formája, és azt mondja ki, hogy egy csoport homomorfizmusával a csoport szerkezete átvizsgálható a magja és a képe alapján.

• A mag $\ker (\phi )$ tartalmazza az összes olyan elemet $g\in G$, amelyre $\phi (g)=e_H$, ahol $e_H$ az $H$ egységeleme.
• A kép $\mathrm{I}\mathrm{m}(\phi )$ az $H$-beli elemek azon részcsoportja, amelyeket $\phi$ a $G$ elemeiből előállít.

Példa

Vegyük a következő csoporthomomorfizmust: $\phi :\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n,\phi (k)=kmodn.$

• A homomorfizmus képe: $\mathrm{I}\mathrm{m}(\phi )={\mathbb{Z}}_n$.
• A homomorfizmus magja: $\ker (\phi )=n\mathbb{Z}=\{kn\mid k\in \mathbb{Z}\}$.
• A Goursat-lemma szerint: $\mathbb{Z}/\ker (\phi )\cong \mathrm{I}\mathrm{m}(\phi )$, vagyis:

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_n.$

Ez az izomorfizmus mutatja, hogy az egész számok $n$-nel vett maradékosztályai pontosan a ${\mathbb{Z}}_n$ csoportot adják.

Következmények

A Goursat-lemma alkalmazható:

• A csoportok normálosztói és faktorcsoportjai közötti kapcsolatok elemzésére.
• A homomorfizmus-tétel bizonyításában.
• Kommutatív és nemkommutatív csoportok tulajdonságainak vizsgálatában.

Megjegyzések

A Goursat-lemma a csoportelmélet egyik alapvető eszköze, amely a csoportok szerkezeti vizsgálatában nyújt fontos eszközt. Az algebra más területein, például a gyűrűk és modulok elméletében hasonló elvek alkalmazhatók.