Nagy számok erős törvénye

1. Sablon:Label A nagy számok erős törvénye (angolul: Strong Law of Large Numbers, SLLN) a valószínűségszámítás egyik alapvető tétele, amely kimondja, hogy egy véletlen kísérlet többszöri megismétlésekor a mintavételi átlag „szinte biztosan” konvergál az elméleti várható értékhez.

Tétel megfogalmazása

Legyenek $\{X_1,X_2,\dots \}$ egymástól független, azonos eloszlású valószínűségi változók, amelyeknek létezik várható értékük $𝔼[X_i]=\mu$. Definiáljuk az $S_n$ részösszegeket és az ${\overline{X}}_n$ mintavételi átlagot az alábbi módon: $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i,{\overline{X}}_n=\frac{S_n}{n}.$

Ekkor a nagy számok erős törvénye szerint: ${\overline{X}}_n\stackrel{\text{szinte biztosan}}{\to }\mu ,\text{azaz }\mathbb{P}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\overline{X}}_n=\mu )=1.$

Értelmezés

• A gyenge törvény (WLLN) csak a valószínűség szerinti konvergenciát írja le:

$\mathrm{\forall }ϵ>0:\mathbb{P}(|{\overline{X}}_n-\mu |>ϵ)\to 0.$ Ezzel szemben az erős törvény szinte biztos konvergenciát állít.

• Ez az empirikus tapasztalat matematikai igazolása: elegendő számú kísérlet után a mintavételi átlag egyre pontosabban közelíti az elméleti várható értéket.

Bizonyítás

1. 1. 1. Kolmogorov-féle verzió

Legyenek $\{X_1,X_2,\dots \}$ egymástól független, azonos eloszlású valószínűségi változók, és feltételezzük, hogy $𝔼[X_i^2]<\mathrm{\infty }$ (a második momentum véges). A Kolmogorov-féle egyenlőtlenség és a Borel-Cantelli lemma segítségével bizonyítható, hogy: $\mathbb{P}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\overline{X}}_n=\mu )=1.$

1. 1. 1. Gyengébb feltételek mellett

Ha csak $𝔼[|X_i|]<\mathrm{\infty }$, akkor speciális bizonyításokkal szintén belátható az állítás.

Példák

1. Kockadobás: Legyen $X_i$ az $i$-edik kockadobás eredménye. Az elméleti várható érték $\mu =3.5$, és:

$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{\text{szinte biztosan}}{\to }3.5(n\to \mathrm{\infty }).$

1. Érmefeldobás: Legyen $X_i$ az $i$-edik érmefeldobás eredménye ($X_i=1$ fej, $X_i=0$ írás). Ha a fej valószínűsége $p=0.5$, akkor:

$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{\text{szinte biztosan}}{\to }0.5.$

1. Laboratóriumi mérések: Egy fizikai mennyiség (pl. hőmérséklet) többszöri mérése esetén a mért értékek átlaga szinte biztosan közelíti a valódi értéket.

Kapcsolat más tételekkel

• **Gyenge törvény:** Csak valószínűség szerinti konvergenciát állít.
• **Központi határeloszlás tétel (CLT):** A mintavételi átlag normális eloszlás felé tart nagy $n$-re:

$\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )\stackrel{\text{eloszlás szerint}}{\to }N(0,{\sigma }^2).$

• **Ergodikus tétel:** A nagy számok törvénye speciális esetként kapcsolódik az ergodikus folyamatokhoz.

Összefoglalás

A nagy számok erős törvénye a valószínűségszámítás egyik legfontosabb tétele, amely biztosítja, hogy a mintavételi átlag hosszú távon pontosan megegyezik az elméleti várható értékkel. Ez az alapja a statisztikai következtetéseknek, mivel garantálja a véletlen kísérletek stabilitását és megbízhatóságát.