Bernoulli-féle nagy számok törvénye

1. Sablon:Label A Bernoulli-féle nagy számok törvénye azt állítja, hogy egy véletlen kísérlet hosszú távon stabil átlagos viselkedést mutat. Ez a törvény a valószínűségszámítás egyik alapvető tétele.

Tétel leírása

Tegyük fel, hogy egy véletlen kísérletet n alkalommal megismétlünk, és az A esemény bekövetkezését figyeljük. Az A esemény bekövetkezésének valószínűsége legyen p. Jelöljük X_i-vel azt a 0 vagy 1 értéket, amely azt mutatja, hogy az i-edik kísérletben A bekövetkezett-e (X_i = 1) vagy sem (X_i = 0).

A relatív gyakoriság a következőképpen írható fel: ${\hat{p}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i.$

A nagy számok törvénye szerint, ha $n\to \mathrm{\infty }$, akkor ${\hat{p}}_n$ konvergál $p$-hez: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\hat{p}}_n=p.$

Példa

Tegyük fel, hogy egy pénzérmét feldobunk, és az írás eredmény bekövetkezése érdekel minket. Ha a pénzérme "igazságos", akkor az írás valószínűsége $p=0,5$. Ha 10-szer dobjuk fel, előfordulhat, hogy az írás relatív gyakorisága $0,4$ vagy $0,6$. Ha azonban a dobások számát növeljük (például 1000-re vagy 10 000-re), a relatív gyakoriság egyre inkább $0,5$ felé tart.

Bizonyítás alapjai

1. **Függetlenség:** Az $X_1,X_2,\dots ,X_n$ független, azonos eloszlású valószínűségi változók. 2. **Lineáris várható érték:** A relatív gyakoriság várható értéke $𝔼[{\hat{p}}_n]=p$. 3. **Variancia csökkenése:** $\text{Var}({\hat{p}}_n)=\frac{p(1-p)}{n}$, amely $n$-nel fordítottan arányos. 4. **Markov- és Chebyshev-egyenlőtlenségek:** Ezek alapján kimutatható, hogy a relatív gyakoriság valószínűsége, hogy eltér $p$-től, tetszőlegesen kicsivé tehető nagy $n$ esetén.

Gyenge és erős nagy számok törvénye

- **Gyenge nagy számok törvénye:** Relatív gyakoriság konvergenciája a valószínűségi konvergencia értelmében: $\mathbb{P}(|{\hat{p}}_n-p|>ϵ)\to 0$, amikor $n\to \mathrm{\infty }$. - **Erős nagy számok törvénye:** Konvergencia szinte biztosan: $\mathbb{P}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\hat{p}}_n=p)=1$.

Összegzés

A Bernoulli-féle nagy számok törvénye biztosítja, hogy egy véletlen esemény relatív gyakorisága hosszú távon közelít a valószínűséghez. Ez az elmélet a valószínűségszámítás és a statisztika egyik alapköve, amely számos gyakorlati területen alkalmazható.

• Sablon:En: Sablon:T+