Вектор

1. Sablon:Matematika vektor

• векторний

---

Вектор в математике и программировании (C++)

---

1. Вектор в математике

📌 Вектор – это направленный отрезок в пространстве, имеющий величину (длину) и направление.

🔹 Записывается как:

$$𝐀=(x,y,z)$$ Где **$x,y,z$** – координаты вектора в 3D-пространстве.

---

Примеры векторов

1. В 2D-пространстве:
   $$𝐀=(3,4)$$
2. В 3D-пространстве:
   $$𝐁=(2,-1,5)$$

---

Основные операции с векторами

Операция	Формула	Пример
Длина вектора	$|A|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$	$|(3,4)|=\sqrt{3^2+4^2}=5$
Сложение векторов	$A+B=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$	$(3,4)+(1,2)=(4,6)$
Вычитание векторов	$A-B=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$	$(5,7)-(2,3)=(3,4)$
Скалярное произведение	$A\cdot B=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$	$(1,2)\cdot (3,4)=1\cdot 3+2\cdot 4=11$
Векторное произведение	$A\times B=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|$	$(1,2,3)\times (4,5,6)=(-3,6,-3)$

---

2. Вектор в C++ (std::vector)

📌 Вектор в C++ – это динамический массив, который автоматически изменяет свой размер.

🔹 Зачем использовать std::vector?
✅ Автоматически расширяется (не нужно вручную выделять память).
✅ Поддерживает удобные методы (push_back(), size(), clear()).
✅ Можно легко перебирать элементы в цикле.

📌 Подключаем библиотеку <vector> для работы с векторами.

---

3. Создание вектора в C++

Объявление и заполнение вектора

#include <iostream>
#include <vector> // Подключаем библиотеку vector
using namespace std;

int main() {
    vector<int> numbers = {1, 2, 3, 4, 5}; // Создаем вектор

    cout << "Элементы вектора: ";
    for (int num : numbers) { // Выводим элементы
        cout << num << " ";
    }
    return 0;
}

📌 Вывод:

Элементы вектора: 1 2 3 4 5

---

4. Добавление и удаление элементов

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    vector<int> vec;

    vec.push_back(10); // Добавляем 10
    vec.push_back(20); // Добавляем 20
    vec.push_back(30); // Добавляем 30

    cout << "Вектор после добавления: ";
    for (int num : vec) cout << num << " ";
    
    vec.pop_back(); // Удаляем последний элемент (30)

    cout << "\nВектор после удаления: ";
    for (int num : vec) cout << num << " ";

    return 0;
}

📌 Вывод:

Вектор после добавления: 10 20 30
Вектор после удаления: 10 20

🔹 Основные методы std::vector

Метод	Описание
push_back(x)	Добавить элемент x в конец
pop_back()	Удалить последний элемент
size()	Количество элементов в векторе
clear()	Очистить вектор
front()	Первый элемент
back()	Последний элемент

---

5. Доступ к элементам

1. Индексированный доступ

cout << "Первый элемент: " << vec[0] << endl;

📌 Недостаток: нет проверки выхода за границы!

2. Метод .at() (с проверкой границ)

cout << "Элемент: " << vec.at(1) << endl;

✅ Если индекс выходит за границы, выбросит ошибку.

---

6. Вектор как двумерный массив

📌 Можно использовать vector<vector<int>> для создания матрицы.

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    vector<vector<int>> matrix = {
        {1, 2, 3},
        {4, 5, 6},
        {7, 8, 9}
    };

    cout << "Матрица:\n";
    for (int i = 0; i < matrix.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < matrix[i].size(); j++) {
            cout << matrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

📌 Вывод:

Матрица:
1 2 3
4 5 6
7 8 9

---

7. Вектор и сортировка

📌 Можно использовать sort() для сортировки элементов вектора.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm> // Подключаем sort()
using namespace std;

int main() {
    vector<int> vec = {5, 3, 8, 1, 2};

    sort(vec.begin(), vec.end()); // Сортируем вектор по возрастанию

    cout << "Отсортированный вектор: ";
    for (int num : vec) cout << num << " ";

    return 0;
}

📌 Вывод:

Отсортированный вектор: 1 2 3 5 8

---

8. Применение векторов

✅ Графика (векторные изображения, 3D-пространства).
✅ Физика (расчёты сил, скоростей, направлений).
✅ Программирование (структуры данных, массивы).
✅ ИИ и машинное обучение (работа с данными).

---

9. Вывод

🔹 В математике вектор – это направленный отрезок с координатами.
🔹 В C++ std::vector – это динамический массив, который удобен для хранения данных.
🔹 Вектор поддерживает методы push_back(), pop_back(), size() и sort().
🔹 Используется в алгоритмах, обработке данных, компьютерной графике и математике. 🚀