Normális eloszlás standardizálása

1. Sablon:Label A normális eloszlás standardizálása azt jelenti, hogy az eloszlást átalakítjuk egy standard normális eloszlássá ($N(0,1)$), amelynek várható értéke ($\mu$) 0, és szórása ($\sigma$) 1. Ez lehetővé teszi a standard normális eloszlás táblázatainak használatát bármilyen normális eloszlás esetén.

1. Normális eloszlás

Egy általános normális eloszlás $X$ paraméterei: $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),$ ahol:

• $\mu$: várható érték,
• $\sigma$: szórás.

2. Standardizálási képlet

A normális eloszlásból egy standard normális eloszlású $Z$ változót hozunk létre a következőképpen: $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }.$

Magyarázat

1. Kivonás $\mu$: Az $X$ eloszlását 0 középértékre helyezzük át.
2. Osztás $\sigma$: Az eloszlást úgy skálázzuk, hogy a szórás 1 legyen.

3. Standardizálás használata

A standardizált $Z$ érték az $X$ értékének távolságát méri a várható értéktől, szórás egységekben kifejezve.

Standardizálás utáni eloszlás

A $Z$ változó standard normális eloszlású: $Z\sim N(0,1).$

4. Példa: Standardizálás lépései

Feladat

Egy normális eloszlású változó $X\sim N(170,10^2)$, ahol:

• $\mu =170$,
• $\sigma =10$.

Mekkora a valószínűsége annak, hogy $X\le 180$?

Megoldás

1. Standardizálás: Számítsuk ki az $X=180$-hoz tartozó $Z$-értéket:

  $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{180-170}{10}=1.$ 

1. Táblázat használata: Keressük meg a standard normális eloszlás táblázatában $\mathrm{\Phi }(1)$-et, ami a következő valószínűséget adja: $\mathrm{\Phi }(1)=P(Z\le 1).$

A táblázat szerint: $\mathrm{\Phi }(1)=0.8413.$

1. Eredmény: A valószínűség, hogy $X\le 180$: $P(X\le 180)=P(Z\le 1)=0.8413.$

5. Fontos megjegyzések

• A standardizálás általánossá teszi a normális eloszlást, így bármilyen eloszlásra használhatjuk a standard normális táblázatot.
• A standard normális eloszlás $Z$-táblázata a következőképpen működik:
  • $Z$-értékeket adunk meg.
  • A táblázat az $\mathrm{\Phi }(Z)$-t (kumulatív eloszlásfüggvényt) adja vissza, ami $P(Z\le z)$.

6. Gyakorlati jelentősége

A normális eloszlás standardizálása elengedhetetlen a valószínűségszámításban és statisztikában, mivel:

• Egységesíti a különböző normális eloszlások kezelését.
• Lehetővé teszi az $X$ értékeiből származó valószínűségek számítását a standard normális táblázat segítségével.