Kétdimenziós diszkrét eloszlások

1. Sablon:Label kétdimenziós diszkrét eloszlások

$\xi$ \ $\eta$	$y_1$	$y_2$	$\dots$	$y_m$	$\xi$ perem- eloszlása
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$\dots$	$p_{1m}$	$q_1=\sum _{j=1}^m{p}_{1j}$
$x_1$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\dots$	$p_{2m}$	$q_2=\sum _{j=2}^m{p}_{2j}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
$x_1$	$p_{n1}$	$p_{n2}$	$\dots$	$p_{nm}$	$q_n=\sum _{j=1}^m{p}_{nj}$
$\eta$ perem- eloszlása	$q_1\sum _1{p}_{i1}$	$q_2\sum _1{p}_{i2}$	$\dots$	$q_m\sum _{i=1}^n{p}_{im}$	$\sum _i\sum _j{p}_{ij}=1.$

DEFINÍCIÓ

szorzat várható értéke
$M(\xi ,\eta )=\sum _i\sum _j{x}_i{y}_j{p}_{ij}$

DEFINICIÓ

$\xi$ és $\eta$ kovarianciája
$\text{cov}(\xi ,\eta )=𝕄((\xi -𝕄(\xi ))(\eta -𝕄(\eta )))$

TÉTEL

$\text{cov}(\xi ,\eta )=𝕄(\xi \eta )-𝕄(\xi )𝕄(\eta )$

DEFINICIÓ

korrelációs együttható
$R(\xi ,\eta )=\frac{\text{cov}(\xi ,\eta )}{D(\xi )D(\eta )}$

TÉTEL:

(i) $-1\le R(\xi ,\eta )\le 1$

(ii) $|R(\xi ,\eta )|=1\text{akkor és csak akkor, ha}\eta =a\xi +b$

(iii) $R(\xi ,\eta )=0\text{ha}\eta \text{és}\xi \text{függetlenek}$

Példa

Legyen a $\xi ,\eta$ együttes eloszlása

η\ξ	0	1	2
0	6	12	3
1	8	6	0
2	1	0	0

Megoldás.

Minden elemet osztani kell az összeggel = 36 :

ξ\η	0	1	2	perem $p_i$
0	6/36 = 1/6	12/36 = 1/3	3/36 = 1/12	21/36 = 7/12
1	8/36 = 2/9	6/36 = 1/6	0	14/36 = 7/18
2	1/36	0	0	1/36
$q_j$ perem	15/36 = 5/12	18/36 = 1/2	3/36 = 1/12	$\sum _i\sum _j{p}_{ij}=1$

$M(\xi \eta )=0\cdot 0\cdot 1/6+0\cdot 1\cdot 2/9+0\cdot 2\cdot 1/36+1\cdot 0\cdot 1/3+1\cdot 1\cdot 1/6+2\cdot 0\cdot 1/12=1/6$

$M(\eta )=0\cdot 5/6+1\cdot 1/2+2\cdot 1/12=2/3$

$M(\xi )=0\cdot 7/12+1\cdot 7/18+2\cdot 1/36=4/9$

kovariancia

$cov(\xi ,\eta )=M(\xi \eta )-M(\xi )M(\eta )=1/6-4/9\cdot 2/3=-7/54=-0,13$

konklúzió

• Pozitív kovariancia: A két változó "együtt mozog" (egyik növekedése a másik növekedésével jár).
• Negatív kovariancia: A két változó "ellentétes irányba mozog" (egyik növekedése a másik csökkenésével jár).
• Kovariancia nulla: Nincs kimutatható kapcsolat, vagy a kapcsolat bonyolultabb, mint amit a kovariancia mérni tud.

szórások

• $M({\xi }^2)=0^2\cdot 7/12+1\cdot 7/18+4\cdot 1/36=1/2$

  $D^2(\xi )=M({\xi }^2)-M^2(\xi )=1/2-(4/9{)}^2=0,30;$

  $D(\xi )=\sqrt{(}0,30)=0,55$

• $M({\eta }^2)=0\cdot 5/12+1\cdot 1/2+4\cdot 1/12=10/12$

  $D^2(\eta )=M({\eta }^2)-M^2(\eta )=10/12-(2/3{)}^2=0,39;$

  $D(\eta )=\sqrt{(}0,39)=0,62$

Tehát a korrelációs együttható

$R(\xi ,\eta )=-0,13/(0,55-0,62)=-0,38.$