Korlátos halmaz

1. Sablon:Label

A matematikai analízis és kapcsolódó területei korlátosnak neveznek egy halmazt, ha annak kiterjedése valamilyen értelemben véges.

Általánosan, de pontosan (értelmesen) topologikus módszerekkel lehet megfogalmazni. Egy elég általános definíció a következő:

Egy H részhalmaz korlátos egy (M, d) metrikus térben, ha a halmazt tartalmazza egy véges sugarú gömb. Vagy másképpen fogalmazva, ha létezik $x\in M$ és $r>0$ úgy, hogy minden $h\in H$-ra $d(x,h)<r$.

Ekkor a H halmaz átmérőjének a véges

$\underset{x,y\in H}{\sup }d(x,y)$

értéket nevezzük. Ha H zárt, akkor ez az érték felvétetik, azaz van olyan H-beli x és y pont, aminek a távolsága pontosan ennyi (más szóval, a szuprémum ilyenkor maximum).

M egy korlátos metrikus tér (vagy d egy korlátos metrika), ha M korlátos részhalmaza saját magának.