Russell-paradoxon

1. Sablon:Label Russell-paradoxon az egyik legismertebb ellentmondás a halmazelméletben, amelyet Bertrand Russell fedezett fel 1901-ben. Rámutatott arra, hogy a naiv halmazelmélet, amely azon az elképzelésen alapult, hogy bármely meghatározható gyűjtemény halmazt alkot, ellentmondásokhoz vezethet.

A Paradoxon: Tegyük fel, hogy létezik egy $R$ halmaz, amely az összes olyan halmazt tartalmazza, amely nem tartalmazza önmagát elemként. Formálisan: $$R=\{S\mid S\notin S\}$$ Ez azt jelenti, hogy $R$ az összes olyan halmazt tartalmazza, amely nem eleme önmagának.

A paradoxon akkor keletkezik, amikor megkérdezzük: $R\in R$?

- Ha $R\in R$, akkor a definíció szerint $R$ nem lehet eleme önmagának, tehát $R\notin R$, ami ellentmondás.

- Ha viszont $R\notin R$, akkor a definíció szerint $R$-nek tartalmaznia kellene önmagát, tehát $R\in R$, ami ismét ellentmondás.

Akár $R\in R$, akár $R\notin R$, ellentmondásba ütközünk. Ez a Russell-paradoxon lényege.

Következmények: A Russell-paradoxon rávilágított arra, hogy a naiv halmazelmélet nem megfelelő, mivel ellentmondásokhoz vezethet. Ennek hatására a matematikusok kidolgozták a rigorózusabb axiomatikus rendszereket, például a Zermelo-Fraenkel halmazelméletet (ZF), amely elkerüli az ilyen paradoxonokat. A ZF egyik kulcsfontosságú eleme, hogy nem minden gyűjtemény képezhet halmazt, így kizárja azokat az önhivatkozó halmazdefiníciókat, amelyek Russell-paradoxonhoz vezetnek. Sablon:Hunl