Szórás becslése

1. Sablon:Label A szórás becslése statisztikai eljárás, amely egy minta adatai alapján próbálja megbecsülni a teljes sokaság szórását. A szórás a változók ingadozásának mértékét mutatja meg az átlagtól, és egy fontos mérőszám a szóródás vagy variabilitás jellemzésére.

A szórás definíciója: A szórás ($\sigma$) a sokaság egy adott adatpontjának az átlagtól való eltérésének átlagos nagyságát méri. A mintából történő szórás becslésekor egy hozzávetőleges értéket kapunk, amelyet a sokaság szórásának közelítéseként használunk.

A szórás becslésének lépései:

1. Mintaátlag kiszámítása: Először kiszámítjuk a minta átlagát ($\overline{x}$), ami a minta elemeinek összege osztva a minta elemszámával ($n$).

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

2. A négyzetes eltérések kiszámítása: Minden adatpont esetén kiszámítjuk, hogy mennyivel tér el a minta átlagától, majd ennek az eltérésnek a négyzetét vesszük.

$$(x_i-\overline{x}{)}^2$$

3. Mintavariancia becslése: Az eltérések négyzeteinek összegét elosztjuk $n-1$-gyel (a minta elemszámából egyet levonunk), hogy korrigáljuk a becslést a minta alapján. Ezt nevezzük mintavarianciának.

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$$

Ez azért fontos, mert ha a teljes sokaságot vizsgálnánk, akkor $n$-nel osztanánk, de minta esetében $n-1$ használata ad jobb becslést, és ez az elfogultságmentes becslés.

4. A szórás becslése: A becsült szórás ($s$) a mintavariancia négyzetgyöke:

$$s=\sqrt{s^2}$$

Példa szórás becslésére: Tegyük fel, hogy van egy ötelemű mintánk: $3,5,7,8,10$. Számoljuk ki a szórás becslését:

1. Mintaátlag:

$$\overline{x}=\frac{3+5+7+8+10}{5}=6.6$$

2. Négyzetes eltérések:

$$(3-6.6{)}^2=12.96,(5-6.6{)}^2=2.56,(7-6.6{)}^2=0.16,(8-6.6{)}^2=1.96,(10-6.6{)}^2=11.56$$

3. Mintavariancia:

$$s^2=\frac{12.96+2.56+0.16+1.96+11.56}{4}=7.8$$

(Mivel a minta elemszáma 5, $n-1=4$-gyel osztunk.)

4. Szórás becslése:

$$s=\sqrt{7.8}\approx 2.79$$

Tehát a minta alapján a szórás becslése körülbelül 2.79.

Fontos megjegyzés: - Sokasági szórás becslése: Ha a teljes populáció szórását becsülnénk, akkor $n$-nel osztanánk a négyzetes eltérések összegét, nem $n-1$-gyel. - Minta mérete: A szórás becslése akkor lesz pontosabb, ha a minta nagyobb, mivel nagyobb mintában jobban megmutatkozik a teljes sokaság variabilitása.

A szórás becslése segít megérteni az adatok szóródását, és széles körben használják statisztikai elemzésekben, mint például a hibák mérésére és a kockázatok becslésére különböző területeken, mint a gazdaság, tudomány vagy mérnöki alkalmazások. Sablon:Hunl