Poincaré-rekurzió

1. Sablon:Humatek A **Poincaré-rekurzió** (vagy **Poincaré-visszatérési tétel**) egy alapvető eredmény a dinamika elméletében és az ergodikus elméletben. A Henri Poincaré által 1890-ben megfogalmazott tétel a zárt rendszerek időbeli viselkedését írja le, különös tekintettel arra, hogy ezek a rendszerek idővel visszatérnek korábbi állapotaikhoz vagy nagyon közeli állapotokhoz. Ez a tétel különösen fontos a konzervatív rendszerekben, például a Hamilton-rendszerekben, amelyek nem veszítenek energiát.

Poincaré-visszatérési tétel formális megfogalmazása

Legyen adott egy konzervatív, zárt fizikai rendszer, amely egy véges térben mozog, és nincs energiavesztesége. A tétel szerint, ha egy ilyen rendszer elég hosszú ideig fejlődik, akkor bármely kezdeti állapothoz végtelen sokszor tetszőlegesen közel vissza fog térni.

Formálisan: - Legyen $X$ egy véges mértékű tér, és $T:X\to X$ egy mértéktartó leképezés (azaz a tér "méretét" nem változtatja). - Ekkor a Poincaré-visszatérési tétel kimondja, hogy a tér minden pozitív mértékű $A\subset X$ részhalmazára igaz, hogy szinte minden $x\in A$-ra létezik egy $n>0$, hogy $T^n(x)\in A$. Ez azt jelenti, hogy a rendszer előbb-utóbb visszatér $A$-ba.

Fizikai jelentőség

A tétel azt mutatja meg, hogy egy mechanikai rendszer, amely nem veszít energiát, egy véges térben korlátozódik, és elegendő idő elteltével tetszőlegesen közel kerül az eredeti állapotához. Például egy bolygó pályája, ha figyelmen kívül hagyjuk a külső zavarokat, egy zárt pályát ír le, és idővel visszatér a korábbi pályához nagyon hasonló helyzetbe.

Alkalmazások

Dinamika elmélet: A Poincaré-rekurzió fontos szerepet játszik a nemlineáris dinamikában és a kaotikus rendszerek vizsgálatában. Egy rendszer lehet kaotikus, de a Poincaré-tétel szerint mégis visszatér egy korábbi állapothoz, legalábbis megközelítőleg. - **Ergodikus elmélet**: Az ergodikus rendszerekben minden kezdeti állapot végtelen idő alatt bejárja az egész fázistér egy adott régióját. A Poincaré-visszatérési tétel ehhez kapcsolódik, mivel az ergodikus rendszerek jellemzően visszatérnek korábbi állapotaikhoz. - **Boltzmann-gépek és statisztikus mechanika**: A statisztikus mechanikában ez a tétel segít megmagyarázni, hogy egy zárt rendszer hogyan tér vissza egy korábbi állapotához, ami a termodinamika második főtétele és a Boltzmann-eloszlás kapcsán is fontos.

Összefoglalva, a Poincaré-rekurzió egy figyelemre méltó elv, amely megmutatja, hogy zárt, konzervatív rendszerek hosszú távon ismételten visszatérnek saját állapotukhoz, függetlenül attól, hogy közben milyen bonyolult pályát írnak le. Sablon:Hunl