Kétváltozós normális eloszlás

1. Sablon:Humatek A kétváltozós normális eloszlás (bivariate normal distribution) a normális eloszlás két dimenziós általánosítása, amely két véletlen változó közös eloszlását írja le. Ezek a véletlen változók normálisan oszlanak, és korreláltak is lehetnek egymással.

Főbb Jellemzők

1. Definíció: Két véletlen változó $(X,Y)$ akkor követi a kétváltozós normális eloszlást, ha bármely lineáris kombinációjuk normális eloszlást követ.

2. Paraméterek:

• Átlagok: A két változó átlagai, ${\mu }_X$ és ${\mu }_Y$.

• Varianciák: A két változó varianciái, ${\sigma }_X^2$ és ${\sigma }_Y^2$.

• Korrelációs együttható: A korrelációs együttható $\rho$ (ahol $-1\le \rho \le 1$), amely a két változó közötti lineáris kapcsolat erősségét és irányát méri.

3. Valószínűségi Sűrűségfüggvény (PDF):

A kétváltozós normális eloszlás sűrűségfüggvénye a következőképpen van megadva:

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_X{\sigma }_Y\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp (-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}(\frac{(x-{\mu }_X{)}^2}{{\sigma }_X^2}+\frac{(y-{\mu }_Y{)}^2}{{\sigma }_Y^2}-\frac{2\rho (x-{\mu }_X)(y-{\mu }_Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}))$$

ahol:

• $(x,y)$ a véletlen változók értékei,

• ${\mu }_X$ és ${\mu }_Y$ az átlagok,

• ${\sigma }_X^2$ és ${\sigma }_Y^2$ a varianciák,

• $\rho$ a korrelációs együttható.

4. Tulajdonságok:

• A kétváltozós normális eloszlás kontúrjainak formája ellipszisekből áll, amelyek a $({\mu }_X,{\mu }_Y)$ pont körül helyezkednek el.

• Ha $\rho =0$, akkor $X$ és $Y$ függetlenek.

• Pozitív $\rho$ esetén $X$ és $Y$ hajlamosak együtt növekedni; negatív $\rho$ esetén az egyik változó csökken, miközben a másik növekszik.

5. Marginalis Eloszlások:

A $X$ és $Y$ marginals normális eloszlások:

• $X\sim N({\mu }_X,{\sigma }_X^2)$

• $Y\sim N({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)$

6. Feltételes Eloszlások:

Az egyik változó eloszlása a másik változó figyelembevételével szintén normális eloszlású:

• A $Y$ feltételes eloszlása $X=x$ esetén:

$$Y|X=x\sim N({\mu }_Y+\rho \frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}(x-{\mu }_X),{\sigma }_Y^2(1-{\rho }^2))$$

Ábrázolás

Két dimenziós ábrázolásban a kétváltozós normális eloszlás egy felületként jelenik meg a $(x,y)$ sík felett. Ennek a felületnek a formája a paraméterek, mint az átlagok, varianciák és korreláció alapján alakul.

Alkalmazások

A kétváltozós normális eloszlás széles körben használatos különböző területeken, például:

• Statisztika: Két korrelált változó közötti kapcsolat modellezésére.

• Gépi Tanulás: Olyan algoritmusokban, amelyek normális eloszlást feltételeznek, például Gauss-összetevős modellekben.

• Pénzügy: Az eszközhozzáférések közötti közös viselkedés modellezésére.

Összefoglalás

A kétváltozós normális eloszlás egy erőteljes eszköz a két korrelált normál véletlen változó közös viselkedésének megértésére, és matematikai tulajdonságai, valamint geometriai értelmezései révén elengedhetetlen a statisztika és az adatfeldolgozás területén.