Minimax közelítés

1. Sablon:Humatek

A minimax közelítés a közelítéselméletben használt technika, amelynek célja, hogy olyan függvényt (általában polinomot vagy más egyszerűbb függvényt) találjunk, amely a megadott célfüggvényhez való viszonyban minimalizálja a legrosszabb esetben előforduló hibát. A legrosszabb esetbeli hiba a célfüggvény és az approximáló függvény közötti maximális eltérés.

Főbb fogalmak

1. 'Közelítési probléma': Legyen adott egy célfüggvény $f(x)$. Olyan approximáló függvényt $p(x)$ keresünk, amely minimalizálja a maximális abszolút hibát: $$E=\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)-p(x)|$$

ahol $[a,b]$ a vizsgált intervallum. 2. 'Minimax kritérium': A minimax közelítés célja a maximális hiba $E$ minimalizálása: $$\underset{p}{\min }\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)-p(x)|$$

3. 'Chebyshev-csomópontok': Sok esetben a közelítést meghatározott pontok, az úgynevezett Chebyshev-csomópontok mentén végezzük, amelyek célja a hiba minimalizálása. Ezek a csomópontok a következőképpen vannak meghatározva: $$x_k=\cos \left(\frac{2k+1}{2n}\pi \right),k=0,1,\dots ,n-1$$

4. 'Chebyshev-polinomok': A minimax közelítésben különösen előnyösek a Chebyshev-polinomok, mivel olyan tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek segítenek a legjobb közelítések elérésében. 5. 'Alkalmazások': A minimax közelítést széles körben használják a numerikus analízisben, a vezérlési elméletben, a jelfeldolgozásban és az optimalizálási problémákban, ahol fontos, hogy egy megbízható közelítést kapjunk, amely a legrosszabb esetben is jól teljesít.

Példa

Például ha az $f(x)=e^x$ függvényt szeretnénk közelíteni a $[0,1]$ intervallumon, a következő lépéseket követjük: 1. Meghatározzuk a Chebyshev-csomópontokat az intervallumban. 2. Formuláljuk a minimax problémát, amely a $p(x)$ megtalálására irányul, amely minimalizálja a maximális eltérést. 3. Használjunk olyan algoritmusokat, mint a Remez-algoritmus, hogy kiszámítsuk $p(x)$ együtthatóit.

Összegzés

A minimax közelítés egy erőteljes keretrendszert biztosít a robusztus függvényközelítések létrehozásához a legrosszabb esetbeli hiba minimalizálásával, ami különösen hasznos olyan alkalmazásokban, ahol a megbízhatóság kritikus. Sablon:Hunl