Gambler's ruin

1. Sablon:Humatek A Gambler’s Ruin (szerencsejátékos tönkremenetele) egy klasszikus valószínűségszámítási probléma, amely egy olyan forgatókönyvet ír le, amikor egy véges összeggel rendelkező játékos egy tisztességes (vagy tisztességtelen) játékot játszik, és szeretné meghatározni annak a valószínűségét, hogy elér egy bizonyos célt mielőtt csődbe megy.

Tegyük fel, hogy egy játékos $X_0$ dollár kezdeti tőkével indul, és egy játék során minden körben 1 dollárt tesz fel. A játékos vagy nyer 1 dollárt $p$ valószínűséggel, vagy veszít 1 dollárt $1-p$ valószínűséggel. A játék addig folytatódik, amíg a játékos vagy eléri a célt ($N$ dollár), vagy elveszíti az összes pénzét (0 dollárra jut).

A legfontosabb kérdések a következők:

1. A cél elérésének valószínűsége - Jelölje $P(X_0)$ annak a valószínűségét, hogy a játékos $X_0$ dollárral indulva eléri a célt ($N$ dollárt) anélkül, hogy csődbe menne. - Ha $p\ne 0.5$, akkor a valószínűség:

$$P(X_0)=\frac{1-{\left(\frac{1-p}{p}\right)}^{X_0}}{1-{\left(\frac{1-p}{p}\right)}^N}$$

- Ha $p=0.5$ (tisztességes játék), akkor a valószínűség egyszerűsödik:

$$P(X_0)=\frac{X_0}{N}$$

2. Várható időtartam A várható körök száma, amíg a játék véget ér (vagy 0-ra, vagy $N$-re jut), függ a kezdő összegtől ($X_0$), valamint a $p$ és $1-p$ valószínűségektől, és meglehetősen nagy lehet, különösen ha $p=0.5$.

Értelmezés - Ha $p<0.5$, akkor a játékos nagyobb valószínűséggel veszít hosszú távon, és ha a játék elég sokáig tart, a csőd szinte biztos. - Ha $p>0.5$, akkor a játékos nagyobb eséllyel éri el a célt, de még így is fennáll a csőd kockázata. - A probléma jól szemlélteti az elnyelő állapotok fogalmát Markov-láncokban, és hasznos modell a kockázat és a nyereség megértésében véletlen folyamatok esetén.

Ez a koncepció gyakran használatos annak szemléltetésére, hogy a véletlenszerűség és a valószínűség hogyan hat a döntéshozatalra a közgazdaságtanban, pénzügyekben és más területeken. Sablon:Hunl